Tehtävän 16 ratkaisu

(a) On annettu kuvaus , .

Olkoot , ja . Jos on lineaarikuvaus, on ja . Nyt

.

Lisäksi

.

Siten molemmat lineaarisuusvaatimukset täyttyvät. Täten on siis lineaarinen.

(b) On annettu kuvaus , .

Olkoot ja . Jos on lineaarikuvaus, pitää samojen lineaarisuusehtojen päteä kuin (a)-kohdassakin. Tällä kertaa ei kuitenkaan ole lineaarikuvaus, sillä ainakaan ensimmäinen lineaarisuusehto ei toteudu. Nimittäin

,

mutta

.

Selvästikin , joten lineaarisuusehto ei ilmeisesti toteudu. Osoitetaan se konkreetilla tilanteella: esimerkiksi jos ja , on .

[Opiskelutehtävä 16][Vinkki tehtävään 16]