VI.2.  Äärellinen todennäköisyyskenttä

Satunnaisilmiöksi sanotaan yleensä ilmiötä, jossa tunnettu alkutila ei määrää tapahtuman lopputilaa varmasti. Esimerkkeinä tällaisista tapahtumista ovat nopanheitto, kortinveto, syntymäviikonpäivä, lapsen sukupuoli, loton voittorivi jne.

Satunnaiskoe on taas koe, jonka lopputulos ei ole ennalta määrätty, mutta jonka kaikki mahdollisuudet tunnetaan. Satunnaiskoetta on yleensä pystyttävä toistamaan.

Satunnaisilmiön yksittäistä tulosta sanotaan alkeistapaukseksi ja näistä muodostuvia yhdelmiä tapahtumiksi. Kaikkien mahdollisten tapausten yhdistelmä on perusjoukko (tai otosavaruus). Tapahtumat ovat siten perusjoukon osajoukkoja.

Klassinen todennäköisyys perustuu symmetrisiin alkeistapauksiin, jolloin kukin alkeistapaus koetaan yhtä mahdolliseksi, yhtä todennäköiseksi.

Esimerkki 6.2.1.

Nopanheitossa alkeistapauksina ovat silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6 ja perusjoukkona siis . Eräs tarkasteltava tapahtuma voisi olla "silmäluku on vähintään viisi". Todennäköisyyksien symmetrisyys tarkoittaa nyt, että kukin silmäluku on yhtä mahdollinen tulos (yksi kuudesta).

Tarkastellaan sitten äärellistä satunnaisilmiön perusjoukkoa . Sen osajoukot ovat siis nimeltään tapahtumia. Mikäli alkeistapaukset ovat keskenään symmetrisiä eli yhtä mahdollisia, tapahtuman toteutumismahdollisuutta eli todennäköisyyttä kuvaa ilmeisesti suhdeluku

missä on joukon alkioiden lukumäärä eli "tapahtumalle suotuisten tapahtumien" lukumäärä ja on kaikkien alkeistapausten lukumäärä.

Esimerkki 6.2.2.

Nopanheitossa ja

Jos nyt on tapahtuma "silmäluku on vähintään viisi", on

Esimerkki 6.2.3.

Heitetään noppaa kaksi kertaa peräkkäin. Nyt perusjoukko on

ja kaikilla . Jos sitten tapahtuma on "pistelukujen summa on vähintään kymmenen", on

ja siten

Jos taas tapahtuma on "molemmat pisteluvut ovat vähintään viitosia", on

ja siten

Opiskelutehtävä 55. (Kahden arpanopan summa)

Millä todennäköisyydellä saadaan kahdella nopanheitolla summaksi pariton luku?

Vinkki tehtävään 55

Opiskelutehtävä 56. (Hevosten voittotodennäköisyydet)

Kolmesta hevosesta, Nopseri, Ponseri ja Rosperi, tiedetään kokemuksesta, että Nopseri voittaa kaksi kertaa niin usein kuin Ponseri ja Ponseri taas kaksi kertaa niin usein kuin Rosperi. Määritä tämän tiedon perusteella hevosille keskinäiset voittotodennäköisyydet.

Vinkki tehtävään 56

Aksiomatisointi

[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]