Tehtävän 34 ratkaisu

(a) Tehtävää voidaan selvittää joko kirjoittamalla auki permutaatioiden kaksirivisiä muotoja ja miettimällä, mitä "termejä" toisella rivillä voi missäkin kohdassa olla, tai käyttämällä suoraan kertomamerkintöjä, mikäli tämä tuntuu tutulta.

Permutaation täytyy olla muotoa

jotta ykkönen kuvautuisi itselleen. Näin ollen kuvauksen ensimmäinen tulos (ensimmäinen "termi") voidaan valita vain yhdellä tavalla. Toinen tulos voidaan valita neljän jäljelläolevan joukosta eli joukosta . Tämän jälkeen kolmanteen paikkaan voidaan sen jälkeen alkio valita enää kolmella tavalla. Näin jatkamalla havaitaan, että erilaisia vaihtoehtoja on . Siten erilaisia permutaatioita, joissa ykkönen kuvautuu itselleen, on ryhmässä olemassa 24 erilaista.

Huomautus. Positiivisen kokonaisluvun n-kertoma n! on .

Selvitetään sitten montako sellaista permutaatiota on, jotka kuvaavat joko alkiot 1 ja 2 molemmat itselleen tai molemmat toisikseen.

Ratkaisutapa 1. Nyt sekä ykkönen että kakkonen kuvautuvat joko itselleen tai toisilleen. Näin ollen permutaatio voi olla kahta muotoa:

Jatkovaihtoehtojen määrän suhteen tilanteet ovat identtisiä. Edellisen kohdan perustelun mukaisesti kumpikin permutaatio voidaan täyttää tavalla, joten ehtojen mukaisia permutaatioita on kaikkiaan kappaletta.

Ratkaisutapa 2. Koska alkiot 1 ja 2 kuvautuvat joko itselleen tai toisilleen, on vaihtoehtoja niiden järjestykselle kpl. Loppujen kolmen alkion järjestysmahdollisuuksia on kpl. Yhteensä vaihtoehtoja siis .

(b) Yleistetään nyt a)-kohdan tilanne kahden alkion sijasta alkiolle.

Jos k ensimmäistä alkiota kuvautuvat :ssä itselleen, on vaihtoehtoja

kappaletta, missä tulon alussa on k kappaletta ykkösiä. Näin siksi, että oletuksen mukaan k ensimmäistä alkiota kuvautuvat itselleen, joten valinnanvaraa näiden osalta permutaatiota muodostettaessa ei ole ja k:lle ensimmäiselle "termille" vaihtoehtoja on tasan yksi kullekin. Erilaisia, mainitut ehdot täyttäviä permutaatioita on siten kappaletta.

Yleistämällä a)-kohdan toisen alakohdan tilanne :lle, nähdään, että sellaisia permutaatioita, jotka kuvaavat ensimmäistä alkiota keskenään joko itselleen tai toisikseen, on kpl.

Esimerkki. Havainnollistetaan vielä edellistä kohtaa konkreetin esimerkin avulla. Kun ja , saadaan seuraavat permutaatiomahdollisuudet:

Saatiin siis 6 erilaista vaihtoehtoa sille, miten kolme itselleen tai toisilleen kuvautuvaa alkiota voivat kuvauksessa kuvautua. Kussakin tapauksessa muuttujien ja paikalle voidaan luvut valita kahdella tavalla. Näin ollen vaihtoehtoja tulee kaikkiaan . Tämä on yhtäpitävää aiemman kaavan kanssa, sillä .

[Opiskelutehtävä 34] [Vinkki tehtävään 34]

[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]