II.3.  Lukujärjestelmistä

Kun kirjoitamme esimerkiksi luvun 2785, tarkoitamme sillä lukua, joka saadaan, kun lasketaan yhteen kaksi tuhatta, seitsemän sataa, kahdeksan kymmentä ja viisi yksikköä. Toisin sanoen

.

Meistä on selvää, että jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan esittää ns. desimaalimuodossa eli 10−kantaisessa muodossa

,

missä luvut ovat kokonaislukuja ja . Tällä tarkoitamme summaesitystä

.

Desimaaliesityksen etunahan on se, että kymmenellä merkillä 0, 1, …, 9 pystytään ilmaisemaan isohkojakin lukuja.

Mihin tämä desimaaliesitys itse asiassa perustuu? Entä onko luvulla 10 jokin erityinen ominaisuus, joka mahdollistaa tällaiset esitykset? Voisiko luvut esittää vähemminkin merkein? Voisiko kaikki kokonaisluvut esittää käyttäen peräti vain kahta merkkiä, esimerkiksi nollaa ja ykköstä?

Katsotaan kertoimien muotoutumista ensin luvulle 2785. Muodostetaan jakoyhtälöt

jolloin näistä saadaan esitys

Tämä menettely voidaan yleistää mielivaltaiselle positiiviselle kokonaisluvulle . Muodostetaan jakoyhtälön mukaisesti peräkkäiset yhtälöt

Tässä kaikki jakojäännökset , , , … toteuttavat ehdon . Kertoimet , , , … taas muodostavat laskevan kokonaislukujonon . Pienimmän alkion periaatteen mukaan näin ei voi kuitenkaan jatkua loputtomasti. Jollekin indeksille tulee siten vastaan yhtälö , jossa ja (paitsi jos , jolloin on jo ). Silloin . Kun valitaan ja sijoitetaan luvun esitys yksi kerrallaan edellisen luvun esitykseen, saadaan luvulle yllä mainittu esitys

.

Käytetäänkö edellä olevassa menettelyssä jotain luvun 10 erityistä ominaisuutta? Ei, käytetään vain sitä, että tämän luvun suhteen voidaan muodostaa jakoyhtälö, jossa jakotulos on jaettavaa pienempi. Sama menettely voidaan tehdä siten minkä tahansa ykköstä isomman kokonaisluvun suhteen. Tuloksena tästä kaikesta on, että jos on ykköstä isompi kokonaisluku, on jokaisella positiivisella kokonaisluvulla esitys

,

missä . Tämän sanotaan olevan luvun esitys − kantaisessa lukujärjestelmässä. Lukua sanotaan lukujärjestelmän kantaluvuksi. Desimaaliesityksen tapaan se voidaan merkitä lyhyemmin muodossa

.

Tarkempi todistus esityksen olemassaolosta voidaan tehdä täydellisellä induktiolla. Samalla voi osoittaa, että tällainen esitys on yksikäsitteinen, ts. jos esityksessä yksikin numero vaihdetaan toiseksi, saadaan eri luku.

Negatiivisille kokonaisluvuille vastaava esitys saadaan sen itseisarvon esityksestä vaihtamalla kaikkien kertoimien merkit negatiivisiksi. Lyhennetyssä merkinnässä miinusmerkki kirjoitetaan kuitenkin vain kerran koko esityksen eteen.

Tietokonemaailmassa käytetään erityisesti kantalukuja , ja . Kokonaislukujen esityksiä näissä lukujärjestelmissä sanotaan vastaavasti binääri-, oktaali- ja heksadesimaaliesityksiksi. Binääriesityksessä käytetään vain numeroita 0 ja 1, oktaaliesityksessä taas numeroita 0, 1, …, 7. Heksadesimaaliesityksessä käytetään yleisesti numeroiden 0, 1, 2, …, 9 jälkeen desimaalilukujen 10, 11, 12, 13, 14 ja 15 tilalla merkkejä A, B, C, D, E ja F.

Miten sitten kokonaisluvun esitys toisessa lukujärjestelmässä voidaan löytää? Tarkastellaan ensin kymmenjärjestelmässä esitetyn luvun muuntamista −kantaiseen järjestelmään. Periaatteessa on kaksi mahdollisuutta, 'ylhäältä alas' ja 'alhaalta ylös'. Jälkimmäisessä määrätään ensin 'vähäpainoisin' numero ja edetään sitten yksi kerrallaan 'suuripainoisimpaan' numeroon . Tämä menettely on itse asiassa aivan sama kuin yllä esitetty menetelmä, jolla esityksen olemassaolo perusteltiin. Jakoyhtälöistä

saadaan luettua esitys (kun  ).

Toinen tapa huomataan esityksestä

.

kun se kirjoitetaan muotoon

.

Tässä esityksessä suluissa oleva luku on pienempi kuin , joten se on itse asiassa se jakojäännös , joka saadaan, kun luku jaetaan luvulla . Toisaalta ehtojen ja perusteella on

.

Tämän mukaan on suurin sellainen potenssi, että ei ylitä lukua ja johtava numero saadaan silloin jakoyhtälöstä . Seuraava numero saadaan jakoyhtälöstä , jne. Tämä menettely on käyttökelpoinen varsinkin silloin, kun tiedetään valmiiksi kantaluvun potenssit.

Esimerkki 2.3.1.

Muunnetaan kymmenjärjestelmän luku 109 binäärijärjestelmään.

Ensimmäinen tapa. Kakkosella jakaen muodostetaan jakoyhtälöt

Jakojäännökset takaperoisesti lukien saadaan esitys .

Toinen tapa. Kakkosen potensseista

huomataan, että on suurin potenssi, joka ei ylitä lukua 109. Aloitetaan jakaminen sillä ja edetään sitten jakamalla saadut jakojäännökset aina edellisellä kakkosen potenssilla:

Kakkosen potenssien kertoimista saadaan nyt esitys .

Esimerkki 2.3.2.

Muunnetaan kymmenjärjestelmän luku 2000 heksadesimaalijärjestelmään. Huomaten, että , muodostetaan jakoyhtälöt

Tästä nähdään, että .

Tehtävä. Muunna heksadesimaaliluvut 1, 2, …, F binääri- ja oktaaliluvuiksi.

Muista lukujärjestelmistä kymmenjärjestelmään päin siirtyminen on suoraviivaisempaa. Esityksestä saadaan nimittäin kymmenjärjestelmän esitys

,

kunhan vain ensin lasketaan tarvittavat kantaluvun potenssit.

Esimerkki 2.3.3.

Muunnetaan heksadesimaaliluku 1B2F kymmenjärjestelmään. Se tarkoittaa lukua

.

Binääriluku 11111010000 vuorostaan tarkoittaa kymmenjärjestelmän lukua

.

Opiskelutehtävä 18. (Heksadesimaaliluvun muunto)

Muunna heksadesimaaliluku ABC ensin desimaaliluvuksi ja sitten binääriluvuksi.

Vinkki tehtävään 18

[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]