Tehtävän 14 ratkaisu

Tehdään todistus matemaattisella induktiolla.

a) Väite: eli väitteenä P( n) on, että jollakin .

1° Kun , väite P(0) pätee, sillä .

2° Induktio-oletus: .

3° Induktioväite: jollakin . Huomaa, että tässä luvun m ei tarvitse olla sama kuin luvun k.

4° Induktiotodistus: Seuraavassa väitteen lauseketta sievennetään ensin sopivaan muotoon (Pascalin kolmiosta on apua binomin viidennen potenssin avaamisessa), sitten neljännelle riville siirryttäessä hyödynnetään induktio-oletusta ja tämän jälkeen taas sievennetään:

Koska toiseksi viimeisen rivin lauseke on kokonaislukujen tulojen summana kokonaisluku, voidaan sitä merkitä muuttujalla ja näin ollen ja siis . Induktiotodistus saatiin näin valmiiksi ja siten .

b) Väite: eli väite P( n) on, että jollain .

1° Kun , väite P(0) pätee, sillä , missä .

2° Induktio-oletus: jollekin .

3° Induktioväite: jollekin . (Huomaa, että ei tarvitse olla )

4° Induktiotodistus: Käyttämällä induktio-oletusta kolmannelle riville siirryttäessä, päästään lopulta haluttuun lopputulokseen:

Koska 6 k on välttämättä kuudella jaollinen, riittää osoittaa, että on parillinen, sillä jälkimmäinen summattava sisältää silloin tekijöinään ainakin luvut 3 ja 2 ja on näin ollen jaollinen luvulla 6. Tällöin koko lauseke on jaollinen kuutosella, sillä kaikki summattavat ovat kuutosella jaollisia.

Osoitetaan siis, että on parillinen. Sieventämällä lauseketta saadaan se muotoon: . Koska n ja ovat peräkkäisiä kokonaislukuja, on jompi kumpi niistä välttämättä parillinen. Luku eli on siis parillinen, mikä todistaa väitteen.

[Opiskelutehtävä 14] [Vinkki tehtävään 14]

[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]