[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]
Tehdään todistus matemaattisella induktiolla.
a) Väite: eli väitteenä P( n) on, että jollakin .
1° Kun , väite P(0) pätee, sillä .
3° Induktioväite: jollakin . Huomaa, että tässä luvun m ei tarvitse olla sama kuin luvun k.
4° Induktiotodistus: Seuraavassa väitteen lauseketta sievennetään ensin sopivaan muotoon (Pascalin kolmiosta on apua binomin viidennen potenssin avaamisessa), sitten neljännelle riville siirryttäessä hyödynnetään induktio-oletusta ja tämän jälkeen taas sievennetään:
Koska toiseksi viimeisen rivin lauseke on kokonaislukujen tulojen summana kokonaisluku, voidaan sitä merkitä muuttujalla ja näin ollen ja siis . Induktiotodistus saatiin näin valmiiksi ja siten .
b) Väite: eli väite P( n) on, että jollain .
1° Kun , väite P(0) pätee, sillä , missä .
2° Induktio-oletus: jollekin .
3° Induktioväite: jollekin . (Huomaa, että ei tarvitse olla )
4° Induktiotodistus: Käyttämällä induktio-oletusta kolmannelle riville siirryttäessä, päästään lopulta haluttuun lopputulokseen:
Koska 6 k on välttämättä kuudella jaollinen, riittää osoittaa, että on parillinen, sillä jälkimmäinen summattava sisältää silloin tekijöinään ainakin luvut 3 ja 2 ja on näin ollen jaollinen luvulla 6. Tällöin koko lauseke on jaollinen kuutosella, sillä kaikki summattavat ovat kuutosella jaollisia.
Osoitetaan siis, että on parillinen. Sieventämällä lauseketta saadaan se muotoon: . Koska n ja ovat peräkkäisiä kokonaislukuja, on jompi kumpi niistä välttämättä parillinen. Luku eli on siis parillinen, mikä todistaa väitteen.
[Opiskelutehtävä 14] [Vinkki tehtävään 14]