Ratkaisu tehtävään 10.12

a ) Ratkaistaan funktioiden ja kuvaajien asymptootit, kun

.

Rationaalifunktion osoittajan asteluku on pienempi kuin nimittäjän asteluku, joten funktion kuvaajalla on asymptootit, joista toinen - -akselin suuntainen suora - saadaan nimittäjän nollakohdasta ja toinen on suora eli -akseli, sillä funktion raja-arvo, kun on nolla.

-akselin suuntainen suora:

Funktion kuvaajalla on asymptootit ja .

Rationaalifunktion osoittajan asteluku on yhtä suurempi kuin nimittäjän asteluku, joten funktion kuvaajalla on asymptootit, joista toinen - -akselin suuntainen suora - saadaan nimittäjän nollakohdasta (sama kuin edellisellä funktiolla ) ja toinen - muotoa oleva suora - saadaan suorittamalla jakolasku jakokulmassa ja jättämällä jäännöstermi huomiotta.

-akselin suuntainen suora:

Muotoa oleva suora:

Funktion lauseke voidaan kirjoittaa muodossa:

Kun , niin jäännöstermi lähestyy nollaa, jolloin funktion kuvaaja lähestyy suoraa , mikä on funktion kuvaajan asymptootti.

Funktion kuvaajalla on asymptootit ja .

b ) Piirretään funktion

kuvaaja.

Kuvaajan piirtämistä varten määritetään funktion kuvaajan asymptootit. Rationaalifunktion osoittajan asteluku on yhtäsuuri kuin nimittäjän asteluku, joten funktion kuvaajalla on asymptoottina -akselin suuntainen suora , missä sekä -akselin suuntaiset suorat, jotka saadaan nimittäjän nollakohdista .

-akselin suuntaiset suorat:

Tulon nollasäännön avulla:

-akselin suuntainen suora

Funktion kuvaajalla on asymptootit , ja .

Funktion kuvaajan piirtämiseksi täytyy selvittää funktion vähenevyys/kasvavuus sekä ääriarvpisteet.

Funktion derivaatta on

Funktion kuvaajan piirtämiseksi täytyy selvittää funktion vähenevyys/kasvavuus sekä ääriarvpisteet.

Ratkaistaan derivaatan nollakohdat eli funktion ääriarvokohdat toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan avulla.

Lasketaan funktion ääriarvot.

Muodostetaan derivaatan merkkikaavio funktion kasvavuuden/vähenevyyden tutkimiseksi ja ääriarvon laadun määrittämiseksi.

Funktio on aidosti kasvava, kun ja ja aidosti vähenevä, kun , ja . Funktiolla on lokaali minimi kohdassa ja lokaali maksimi kohdassa .

Rationaalifunktion kuvaaja voidaan nyt piirtää asymptoottien ja funktion käyttäytymisestä selvitettyjen tietojen avulla.

[Tehtävä 10.12][Vinkki tehtävään 10.12]

[Ylemmälle pääsivulle] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]