[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]
Olkoon funktio määritelty tietyllä välillä. Jos välin kaikissa pisteissä on voimassa ehto
• , funktio
on aidosti kasvava.
• , funktio
on aidosti vähenevä.
Jos funktio on koko välillä joko (aidosti) kasvava tai (aidosti) vähenevä, niin se on
(aidosti) monotoninen.
Jos funktio on aidosti monotoninen, se saa kunkin arvonsa vain kerran:
Aidosti kasvavan funktion arvoilla
ja
on sama suuruusjärjestys kuin vastaavilla muuttujan arvoilla
ja
. Sanotaan, että aidosti kasvava funktio
säilyttää järjestyksen, jolloin sille on voimassa
Aidosti vähenevän funktion arvoilla
ja
on puolestaan päinvastainen suuruusjärjestys kuin vastaavilla muuttujan arvoilla
ja
. Sanotaankin, että aidosti vähenevä funktio
kääntää järjestyksen, jolloin sille on voimassa
Monet yhtälöt ja epäyhtälöt voidaan ratkaista funktioiden monotonisuuteen perustuen.
Epäyhtälö on määritelty, kun juurrettavat ovat ei-negatiiviset eli ja
. Molemmat ehdot ovat voimassa, kun
. Tiedetään, että neliöjuurifunktio on aidosti kasvava, sillä
Koska aidosti kasvava funktio säilyttää järjestyksen, epäyhtälö toteutuu, kun
ja määrittelyehto on voimassa.
1. Olkoon funktio . Millä väleillä funktio
on
2. Tutki, millä reaaliluvun arvoilla funktio
on aidosti kasvava, kun
?
3. Muodosta funktio , jolla on seuraavat ominaisuudet:
on aidosti kasvava, kun
ja
, ja
on aidosti vähenevä, kun
.
4. Keksi funktio , joka ei ole kasvava eikä vähenevä millään reaalilukuvälillä.