Moduli 3. Reaalifunktioita

3.3. Eksponentti- ja logaritmifunktio

Tässä luvussa esitellyille funktioille on runsaasti sovelluksia erilaisissa kasvumalleissa.

3.3.1. Eksponenttifunktio

Olemme jo harjoitelleet muodostamaan suureen kasvua kuvaavan funktion tapauksessa, jossa suureen määrä kasvaa tai vähenee aina yhtä monta prosenttia tietyssä aikayksikössä. Eräs tällainen tapaus on saldon kasvu kiinteäkorkoisella tilillä.

Esimerkki 3.8.

Talletetaan 2350 euroa tilille, jonka veroton korkokanta on 1,85 %/vuosi. Tilillä korko liitetään pääomaan aina vuoden kuluttua. Muodosta funktio, joka ilmoittaa tilin saldon vuoden kuluttua talletushetkestä. Kuinka paljon tilillä olisi rahaa 8 vuoden kuluttua, jos tililtä ei tänä aikana nosteta varoja?

Ratkaisu:

Seuraavasta taulukosta ilmenee, kuinka tilin saldo kasvaa vuosittain talletushetkestä alkaen.

Vuosia talletushetkestä	Tilin kokonaissaldo
1
2
3

Tilin saldon vuoden kuluttua talletushetkestä ilmoittaa funktio

euroa.

Kahdeksan vuoden kuluttua tilin kokonaissaldo on

Vastaus:

Tilin saldon vuoden kuluttua talletushetkestä ilmoittaa funktio

euroa.

Kahdeksan vuoden kuluttua talletushetkestä tilillä on 2721,17 euroa.

Päädyimme johdantoesimerkissämme funktioon, jossa muuttuja esiintyy eksponentissa. Tällaisia funktioita kutsutaan eksponenttifunktioiksi.

Eksponenttifunktio on muotoa

,

missä kantaluku on jokin positiivinen vakio. Esimerkiksi ja ovat eksponenttifunktioita. Koska kantaluvun ollessa positiivinen voi eksponentti olla mikä tahansa reaaliluku, on eksponentifunktio määritelty muuttujan kaikilla reaaliarvoilla. Eksponenttifunktion kuvaaja riippuu tietysti kantaluvun arvosta. Oheisen oppimistehtävän avulla voit tutkia, miten kantaluvun arvo vaikuttaa eksponenttifunktion kuvaajaan.

Oppimistehtävä 3.9.

Sivulla

http://www.cc.jyu.fi/~anvihola/testit/eksponentti.php

voit tutkia kantaluvun arvon vaikutusta eksponenttifunktion kuvaajaan. Voit antaa kantaluvulle arvoja liikuttelemalla pistettä lukusuoralla. Tutki eksponenttifunktion käyttäytymistä ja vastaa sitten seuraaviin kysymyksiin.

(a) Minkä pisteen kautta eksponenttifunktion kuvaaja aina kulkee? Miksi?

(b) Milloin funktio on aidosti kasvava?

(d) Milloin funktio on aidosti vähenevä?

Tarkista ratkaisusi sivulta 133.

Taskulaskimissa on valmiina kaksi eri eksponenttifunktiota: ja . Jälkimmäisen kantaluku on ns. Neperin luku , joka on irrationaaliluku ja likiarvoltaan n. 2,71828. Kun näiden eksponenttifunktioiden arvo halutaan laskea tietyllä muuttujan arvolla, näppäillään laskimeen ensin kyseinen muuttujan arvo ja painetaan sitten eksponenttifunktionäppäintä. Seuraavan testaa tietosi -tehtävän avulla voit varmistaa, että osaat laskea laskimellasi likiarvot mille tahansa eksponenttifunktion arvolle. Huomaa, että muiden eksponenttifunktioiden arvot saat laskettua potenssinäppäimen avulla.

Testaa tietosi V

Laske kolmen desimaalin tarkkuudella

(a) (b) (c)

Tarkista vastaus sivulta 140.

Lue nyt luentomonisteen luvusta 4.6.1, mitä siellä on kerrottu eksponenttifunktiosta. Katso erityisesti esimerkki 4.20 eksponenttiyhtälön ratkaisemisesta. Eksponenttifunktiolla voidaan kuvata kaikkia sellaisia kasvuilmiöitä, joissa suure esimerkiksi kolminkertaistuu tai kasvaa tietyn prosenttimäärän aina vakioajassa tai se vähenee esimerkiksi kolmasosan tai jonkun muun tietyn prosenttimäärän vakioajassa. Luentomonisteessa on esitetty joitakin esimerkkejä tällaisesta kasvamisesta tai vähenemisestä. Katso myös nuo esimerkit. Tällä kurssilla me pyrimme keskittymään sovelluksissa talous- ja arkielämän tilanteisiin.

Mainitessani edellä eksponenttiyhtälön tarkoitin yhtälöä, jossa tuntematon esiintyy eksponentissa. Tällaiset yhtälöt on tärkeää oppia ratkaisemaan, sillä niiden avulla voi määrittää ajan, jonka kuluttua suureen määrä on kasvanut tai vähentynyt tietylle tasolle. Monisteen esimerkistä 4.20 ilmenee yksi tapa eksponenttiyhtälön ratkaisemiseksi. Tätä tapaa voit käyttää silloin, kun yhtälön molemmat puolet voidaan esittää saman kantaluvun potensseina. Jos sinulla on ratkaistavana yhtälö

,

voi se toteutua ainoastaan silloin, kun eksponentit ovat samat eli tässä . Tiedämme, että kantaluvun ollessa positiivinen ja erisuuri kuin yksi, eksponenttifunktio on joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Tällainen funktio saa tietyn arvonsa vain kerran eli se ei voi saada samaa arvoa kahdessa eri pisteessä. Tämän nojalla arvot ja voivat olla yhtäsuuret ainoastaan, kun myös eksponentit ovat yhtäsuuret eli .

Kun olet muokannut eksponenttiyhtälön muotoon, jossa sen molemmilla puolilla on saman kantaluvun potenssit, ratkeaa yhtälö merkitsemällä noiden kantalukujen eksponentit yhtäsuuriksi. Mikäli eksponenttiyhtälössä ei voi kirjoittaa sen molempia puolia saman kantaluvun potensseina (se tavallisin tilanne), ratkaistaan yhtälö myöhemmin esitettävällä tavalla. Nyt voit kuitenkin harjoitella tätä ensin esiteltyä tapaa oheisen oppimistehtävän avulla.

Oppimistehtävä 3.10.

Ratkaise yhtälö

Tarkista ratkaisusi sivulta 133.

Toinen tapa eksponenttiyhtälön ratkaisemiseksi edellyttää meiltä aivan uuden käsitteen eli logaritmin tuntemista. Koska käytännön sovelluksiin liittyvissä tehtävissä juuri tuo toinen tapa on se, jonka avulla eksponenttiyhtälö yleensä ratkeaa, tarkastellaan näitä erilaisiin kasvuilmiöihin liittyviä sovelluksia vasta opiskeltuamme ensin logaritmin käsitteen.

3.3.2. Logaritmifunktio

Aloita opiskelusi lukemalla luentomonisteen luvusta 4.6.2 johdantoesimerkki 4.25. Esimerkin mukaan bakteeri jakautuu kerran tunnissa, joten tunnin kuluttua bakteereja on jo kpl. Nyt ollaan kiinnostuneita siitä, minkä ajan kuluttua bakteereja on tietty määrä. Mieti esimerkiksi, kuinka monen tunnin kuluttua bakteereja on jo 32, 256 tai 1024. Näitä bakteerimääriä vastaavat ajat saat ratkaistua kokeilemalla. Kutakin bakteerimäärää vastaa tietty aika, jonka kuluttua bakteerien määrä on kasvanut kyseisen suuruiseksi. Luentomonisteen johdantoesimerkissä oltiin kiinnostuneita siitä, minkä ajan kuluttua bakteereja on jo 7000. Tuo aika ratkaistiin esimerkissä likimääräisesti funktion kuvaajan avulla. Vastaavaan tilanteeseen joudutaan aina, kun on selvitettävänä, minkä ajan kuluttua bakteerien määrä on kasvanut sellaiseksi, että kyseistä lukua ei osata kirjoittaa luvun 2 potenssina.

Ongelmamme on, kuinka ratkaistaan yhtälö

,

olipa mikä tahansa positiivinen luku. Mietittävänä on siis se kantaluvun 2 eksponentti , joka antaa potenssin tuloksena luvun . Kyseistä eksponenttia kutsutaan luvun 2-kantaiseksi logaritmiksi ja sitä merkitään . Esimerkiksi

Määritellään nyt yleisesti luvun -kantainen logaritmi. Oletetaan, että kantaluku ja . Tällöin positiivisen luvun -kantainen logaritmi, jota merkitään

,

on se eksponentti , joka toteuttaa yhtälön

.

Positiivisen luvun -kantainen logaritmi on siten se kantaluvun eksponentti , joka antaa potenssin tulokseksi luvun . Laskiessasi logaritmeja kysyt siis aina itseltäsi, mihin potenssiin kantaluku on korotettava, jotta saadaan luku , jonka -kantaista logaritmia lasketaan.

Huomaa, että logaritmi voidaan määrittää vain positiivisille luvuille, koska eksponenttifunktion arvot ovat aina positiivisia lukuja. Määrättäessä luvun -kantaista logaritmia mietitään siis ratkaisua yhtälölle . Tällä yhtälöllä on ratkaisuja ainoastaan silloin, kun .

Lue nyt luentomonisteesta esimerkki 4.26, jossa on määrätty muutamia logaritmeja. Harjoittele sen jälkeen itse logaritmien laskemista oheisen oppimistehtävän avulla.

Oppimistehtävä 3.11.

Laske

(a) (b) (c) (d) (e)

Tarkista ratkaisusi sivulta 134.

Näin voit siis määrittää logaritmeja niissä tapauksissa, joissa pystyt ilmaisemaan luvun, jonka logaritmia olet laskemassa, kyseisen kantaluvun potenssina. Mikäli näin ei ole, voit kuitenkin määrittää logaritmin likiarvon laskimella. Taskulaskimissa on valmiina kaksi eri logaritmifunktiota: kymmenkantainen logaritmi ja -kantainen logaritmi. Kymmenkantaista logaritmia kutsutaan Briggsin logaritmiksi ja sitä merkitään seuraavasti:

.

Neperin luku -kantaista logaritmia nimitetään puolestaan luonnolliseksi logaritmiksi, ja sitä merkitään

.

Laskimella näiden logaritmien arvot tietyille luvuille saadaan näppäilemällä ensin kyseinen luku ja painamalla sitten kyseisen logaritmifunktion näppäintä. Laskimella saadaan esimerkiksi kolmen desimaalin tarkkuudella seuraavat tulokset:

ja .

Kuinka sitten määrätään esimerkiksi tai ? Niille saadaan laskimella likiarvo, kun ne on ensin ilmaistu 10-kantaisina tai luonnollisina logaritmeina. Logaritmeille voidaan johtaa laskusääntöjä, joita tarkastelemme myöhemmin hieman enemmään. Yksi tärkeimmistä logaritmien laskusäännöistä on ns. kannanvaihtokaava, jonka avulla logaritmi voidaan muuttaa toisen kantaluvun logaritmeiksi. Tästä kaavasta on hyötyä juuri logaritmien likiarvoja laskiessa, koska laskimella saa suoraan vain nuo kaksi logaritmia. Mikä tahansa logaritmi voidaan ilmaista -kantaisina logaritmeina seuraavasti:

.

Kun logaritmi ilmaistaan -kantaisten logaritmien avulla, tulee siitä kahden -kantaisen logaritmin osamäärä siten, että osoittajassa on luvun -kantainen logaritmi ja nimittäjässä kantaluvun -kantainen logaritmi. Seuraava esimerkki näyttää, kuinka mille tahansa logaritmille saadaan laskimella likiarvo em. kannanvaihtokaavan avulla.

Esimerkki 3.12.

Määrää nelidesimaalinen likiarvo seuraaville logaritmeille

(a) (b)

Ratkaisu:

(a)

Huomaa, että ei ole väliä, muutatko logaritmin 10-kantaisiksi vai luonnollisiksi logaritmeiksi.

(b)

Vastaus:

(a) 3,4384 (b) 0,6922

Logaritmien laskusääntöjä on esitetty luentomonisteessa sivulta 107 alkaen. Lue nämä laskusäännöt ja katso niihin liittyvät esimerkit (4.29 viimeisenä). Tämän jälkeen voit harjoitella logaritmien laskemista seuraavalla oppimistehtävällä.

Oppimistehtävä 3.13.

Laske

(a) (b) (c)

Tarkista ratkaisusi sivulta 134.

Tarkastellaan sitten logaritmifunktiota , missä kantaluku ja . Koska logaritmi voidaan määrittää vain positiivisille luvuille, on logaritmifunktio määritelty ainoastaan silloin, kun . Tämä sinun kannattaa muistaa aina logaritmeihin liittyviä tehtäviä - esimerkiksi yhtälöitä - ratkoessasi. Kuvaajan tarkastelu antaa havainnollisen kuvan funktion kulusta ja perusominaisuuksista. Sinun kannattaakin seuraavaksi paneutua oheiseen logaritmifunktion kuvaajaa tutkivaan oppimistehtävään.

Oppimistehtävä 3.14.

Sivulla

http://www.cc.jyu.fi/~anvihola/testit/logaritmi.php

voit tutkia kantaluvun arvon vaikutusta logaritmifunktion kuvaajaan. Voit antaa kantaluvulle arvoja liikuttelemalla pistettä lukusuoralla. Tutki logaritmifunktion käyttäytymistä ja vastaa sitten seuraaviin kysymyksiin.

(a) Minkä pisteen kautta logaritmifunktion kuvaaja aina kulkee? Miksi?

(b) Milloin funktio on aidosti kasvava?

(d) Olkoon . Millä muuttujan arvoilla logaritmifunktio saa negatiivisia arvoja?

Tarkista ratkaisusi sivulta 135.

Harjoitellaan sitten ratkaisemaan yksinkertaisia yhtälöitä, joissa esiintyy logaritmeja. Tällaisia yhtälöitä ratkoessasi muista aina, että logaritmi on määritelty ainoastaan positiivisille luvuille. Kannattaa aina miettiä yhtälön määrittelyehto ennen ratkaisutoimenpiteiden aloittamista. Logaritmiyhtälöiden ratkaisemisesta on esimerkkejä luentomonisteessa. Katso sivulta 110 esimerkit 4.30 ja 4.31. Edellisessä sovelletaan logaritmin määritelmää, jonka mukaan

.

Jälkimmäisessä puolestaan käytetään hyväksi tietoa, että kantaluvun ollessa ja logaritmifunktio on joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä ja sellainen funktio saa tietyn arvonsa vain kerran. Logaritmifunktio ei siis voi saada samaa arvoa kahdessa eri pisteessä, vaan yhtälö

toteutuu ainoastaa silloin, kun . Luettuasi em. esimerkit voit vielä harjoitella logaritmiyhtälöiden ratkaisemista oheisen oppimistehtävän avulla.

Oppimistehtävä 3.15.

Ratkaise yhtälöt

(a) (b)

Tarkista ratkaisusi sivulta 135.

Lopuksi tarkastelemme vielä paria sovellusesimerkkiä, joissa on määritettävä aika, jonka kuluttua eksponentiaalisesti kasvava suure on kasvanut tai vähentynyt tietylle tasolle. Kyseessä on eksponenttiyhtälön ratkaiseminen, jota jo edellä harjoittelimme eräissä erikoistapauksissa. Nyt esitettävä ratkaisutapa pätee yleisemmin ja on hyödyllinen opetella kaikkia niitä tilanteita varten, joissa on selvitettävä, minkä ajan kuluttua eksponentiaalinen kasvu on yltänyt tietylle tasolle.

Esimerkki 3.16.

Vuoden 2002 alussa talletetaan 3560 euroa tilille, jonka veroton korkokanta on 2 %/vuosi. Tilillä korko liitetään pääomaan aina vuoden lopussa. Milloin tilin saldo ylittää ensimmäisen kerran 4000 euroa, kun oletetaan, että tililtä ei nosteta eikä sinne lisätä varoja tänä aikana?

Ratkaisu:

Oheisesta taulukosta ilmenee, kuinka tilin kokonaissaldo saadaan laskettua kunkin vuoden lopussa.

Vuosia talletushetkestä	Tilin kokonaissaldo
1
2
3

Kun selvitetään, milloin tilin saldo on 4000 euroa, on ratkaistava talletushetkestä kuluneiden vuosien määrä yhtälöstä

.

Muokataan yhtälö ensin muotoon, jossa muuttujan eksponentissaan sisältävä termi jää yksin yhtälön toiselle puolelle.

Tästä voidaan jälleen edetä kahdella eri ajattelutavalla. Yhtälön molemmat puolet ovat nyt positiiviset. Yhtälön molemmista puolista voidaan nyt ottaa samankantainen logaritmi (esim. luonnollinen logaritmi) yhtälön ratkaisujen muuttumatta.

Yhtälön vasemmalla puolella voidaan nyt soveltaa logaritmien laskusääntöä, jonka mukaan . Tämän jälkeen muuttuja ratkeaa samoin kuin tavallisessa ensimmäisen asteen yhtälössä. Huomaa, että yhtälön oikealla puolella on vain eräs reaaliluku, jonka likiarvo voidaan lopuksi laskea laskimella. Välivaiheissa käytämme luvusta tarkkaa arvoa.

Tilin saldo ylittää siis 4000 euroa ensimmäisen kerran kuuden vuoden kuluttua eli vuoden 2007 lopussa.

Katsotaan vielä toinen tapa samaisen yhtälön ratkaisemiseksi. Kuten edellä päädytään yhtälöön

.

Logaritmin määritelmän mukaan se eksponentti , johon korotettuna kantaluvun 1,02 potenssi antaa tulokseksi luvun , on tämän luvun 1,02-kantainen logaritmi:

.

Tälle luvulle saadaan laskettua likiarvo kannavaihtokaavan avulla.

Huomaa, että molemmilla ajattelutavoilla päädyimme lopulta laskemaan likiarvoa aivan samalle luvulle.

Vastaus:

Tilin saldo ylittää 4000 euroa ensimmäisen kerran vuoden 2007 lopussa.

Harjoittele vielä itse tällaisiin sovellustehtäviin liittyvien yhtälöiden ratkaisemista oheisen oppimistehtävän avulla.

Oppimistehtävä 3.17.

Eräs yritys arvioi myyntinsä kasvavan vuosittain 3,5 %. Tällä hetkellä sen myynti on 105 miljoonaa euroa. Milloin myynti ensimmäisen kerran ylittäisi 120 miljoonaa euroa, jos myynnin kasvu jatkuisi samanlaisena koko ajan?