VI.1.  Kombinatoriikkaa

Ennen todennäköisyyden käsitteeseen perehtymistä tarkastelemme paria kombinatorista tapaa muodosta erilaisia äärellisiä osajoukkoja. Vastaavilla tavoilla voidaan kuvata monien satunnaisilmiöiden etenemistä.

Tuloperiaate

Jos jokin ilmiö voi tapahtua kahdessa peräkkäisessä vaiheessa niin, että ensimmäinen voi tapahtua eri tavalla ja toinen sen jälkeen aina ensimmäisen vaiheen tuloksesta riippumatta eri tavalla, voi ilmiö yhteensä tapahtua eri tavalla.

Yleistyksenä saadaan: Jos ilmiö voi tapahtua peräkkäisellä vaiheella niin, että :s vaihe voi tapahtua eri tavalla, voi koko ilmiö tapahtua yhteensä eri tavalla.

Esimerkki 6.1.1.

Tavallisessa vakioveikkauksessa veikataan kolmeatoista kohdetta ja kussakin kohteessa on kolme vaihtoehtoa (1, X tai 2). Erilaisia veikkausrivejä on siten tuloperiaatteen mukaan kappaletta.

Summaperiaate

Jos jokin ilmiö voi tapahtua kahdella toisensa poissulkevalla (tai vaihtoehtoisella) tavalla niin, että ensimmäisellä tavalla on eri tulosmahdollisuutta ja toisella eri tulosmahdollisuutta, voi ilmiö tapahtua yhteensä eri tavalla.

Yleistyksenä tästä saadaan: Jos jokin ilmiö voi sattua toisensa poissulkevalla tavalla niin, että :nnella tavalla on eri tulosmahdollisuutta, voi koko ilmiö tapahtua yhteensä eri tavalla.

Esimerkki 6.1.2.

Säännöllisen dodekaedrin seitsemän tahkoa olkoot maalattu punaiseksi ja loput viisi keltaiseksi. Noppaa heitetään kaksi kertaa. Tulosvaihtoehtoja on nyt neljä: kahdesti punainen tahko, kahdesti keltainen tahko, ensin punainen tahko ja sitten keltainen tahko sekä ensin keltainen tahko ja sitten punainen tahko. Selvitetään näiden mahdollisuuksien kokonaismäärät.

Tuloperiaatteen mukaan eri tahkoparit voivat tulla tulokseksi eri tavalla. Näistä molemmilla kerroilla voi punainen tahko tulla eri tavalla ja molemmilla kerroilla keltainen tahko eri tavalla. Ensin punainen tahko ja sitten keltainen tahko voi tulla eri tavalla ja ensin keltainen tahko ja sitten punainen tahko voi taas tulla eri tavalla.

Voidaan kysyä myös, kuinka monella tavalla tulokseksi voi tulla toisella kerralla punainen ja toisella keltainen tahko (järjestyksestä riippumatta). Summa- ja tuloperiaatteiden mukaan näin voi tapahtua tavalla.

Esimerkki 6.1.3.

Eräässä viestintäjärjestelmässä on käytössä kolme erilaista lippua, joista viestin lähettämiseksi pannaan vähintään yksi tankoon. Kuinka monta erilaista viestiä voidaan lähettää, jos lippujen järjestyksellä on merkitystä?

On kolme vaihtoehtoista menetelmää sijoittaa liput: tankoon pannaan yksi, kaksi tai kolme lippua. Yhden lipun sijoittamiseen on vain kolme mahdollisuutta. Kaksi lippua voidaan panna tuloperiaatteen mukaan eri tavalla. Ja kolme lippua tavalla. Yhteensä on summaperiaatteen mukaan erilaista lippujen sijoitustapaa eli viestimahdollisuutta.

Variaatio ja kombinaatio

[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]