Moduli 4. Differentiaalilaskentaa

4.3. Derivaatta

Derivaatta on apuväline, jota voidaan käyttää mm. funktion kasvamisen ja vähenemisen tutkimiseen sekä funktion paikallisten ääriarvojen - maksimien ja minimien - etsimiseen. Tässä luvussa selvitämme itse derivaattakäsitettä sekä opettelemme määrittämään funktion derivaatan. Seuraavassa luvussa tutustumme joihinkin derivaatan sovelluksiin, kuten edellä mainittuihin funktion monotonisuuden ja ääriarvojen tutkimiseen.

4.3.1. Funktion kasvunopeus

Ohessa on erään funktion kuvaaja. Tarkastellaan seuraavaa ongelmaa: mikä on funktion arvojen hetkellinen kasvunopeus kohdassa ?

Voimme vaikka ajatella, että muuttuja esittää tässä aikaa ja funktio ilmoittaa kappaleen tietyssä ajassa kulkeman matkan. Kuinka sitten määritettäisiin tämän funktion hetkellinen kasvunopeus kohdassa tai vastaavasti jonkun kappaleen hetkellinen nopeus ajanhetkellä ? Osaamme toki määrittää kappaleen keskinopeuden tietyllä aikavälillä, mutta hetkellisen nopeuden määrittäminen onkin jo hankalampaa.

Lähdetään siis liikkeelle yksinkertaisemmasta ongelmasta: määritetään aluksi funktion keskimääräinen kasvunopeus välillä . Tämä tapahtuu samalla tavoin kuin määrittäisimme jonkun kappaleen keskinopeuden aikavälillä . Kappaleen keskinopeushan lasketaan jakamalla kappaleen kulkema matka siihen käytetyllä ajalla. Ajattelemme nyt funktion esittävän kappaleen kulkemaa matkaa ja muuttujan aikaa, jonka kuluessa kyseinen matka on kuljettu. Kappaleen aikavälillä kulkema matka on tällöin erotus ja matkaan käytetty aika . Kappaleen keskinopeus aikavälillä on siis

.

Tämä on myös funktion arvojen keskimääräinen kasvunopeus välillä , sillä voimme ajatella, että yleisessä tapauksessa kappaleen kulkemaa matkaa vastaa funktion arvojen muutos kyseisellä välillä ja kappaleen käyttämää aikaa puolestaan vastaa muuttujan arvojen muutos.

Palataanpa tarkastelemaan asiaa vielä graafisesti ennen kuin jatkamme varsinaiseen ongelmaamme eli hetkellisen nopeuden määrittämiseen. Valitaan jokin muuttujan arvo päätepisteeksi välille , jolla funktion arvojen keskimmääräistä muutosnopeutta lasketaan. Tätä muuttujan arvoa vastaa kuvaajan piste .

Erotus esittää funktion kuvaajan pisteiden ja -koordinaattien erotusta ja erotus puolestaan niiden -koordinaattien erotusta. Näiden osamäärä

on siten pisteiden ja kautta kulkevan suoran kulmakerroin. Tällaista suoraa, joka kulkee kahden kuvaajan pisteen kautta nimitetään funktion kuvaajan sekantiksi. Funktion keskimääräinen kasvunopeus välillä voidaan tämän nojalla tulkita geometrisesti funktion kuvaajan pisteiden ja kautta kulkevan sekantin kulmakertoimeksi.

Näin määritimme funktion arvojen keskimääärisen kasvunopeuden tietyllä välillä, mutta kuinka määrittäisimme funktion arvojen hetkellisen kasvunopeuden kohdassa ? Funktion keskimääräinen kasvunopeus välillä voidaan ajatella arvioksi sen hetkelliselle kasvunopeudelle kohdassa . Tuo arvio paranee, kun pienennetään väliä , jolla keskimääärinen nopeus on laskettu. Mitä pienempi tuo väli on sitä paremman arvion hetkelliselle kasvunopeudelle saamme. Välin pienentäminen merkitsee sitä, että piste siirtyy lähemmäksi pistettä . Alla olevaan kuvioon on piirretty useita eri sekantteja, joiden kulmakertoimien avulla voidaan arvioida funktion hetkellistä kasvunopeutta kohdassa .

Kun hetkellisen kasvunopeuden arviointia jatketaan tällä tavalla, päädytään lopulta tilanteeseen, jossa väli on kutistunut olemattomaksi ja piste yhtynyt pisteeseen . Tällöin sekantista, jonka kulmakerroin esittää funktion keskimääräistä kasvunopeutta, on tullut funktion kuvaajan tangentti eli sivuaja. Tämän tangentin kulmakerroin ilmaisee funktion hetkellisen kasvunopeuden kohdassa . Laskemalla tuon tangentin kulmakerroin saadaan raja-arvona sekantin kulmakertoimesta. Sekantin kulmakerroin eli funktion keskimääärinen kasvunopeus

on sitä parempi arvio funktion hetkelliselle kasvunopeudelle eli funktion kuvaajan pisteeseen piirretyn tangentin kulmakertoimelle mitä lähempänä on kohtaa . Funktion hetkellinen kasvunopeus kohdassa on siten raja-arvo

,

joka geometrisesti tulkittuna on funktion kuvaajan pisteeseen piirretyn tangentin kulmakerroin.

4.3.2. Derivaatta

Johdimme edellä itse asiassa määritelmän funktion derivaatalle kohdassa . Funktion derivaatta kohdassa on raja-arvo

,

jos tämä raja-arvo on olemassa. Funktion derivaatalle kohdassa käytetään merkintää . Funktion derivaatta voidaan tulkita funktion hetkelliseksi kasvunopeudeksi kohdassa tai funktion kuvaajan pisteeseen piirretyn tangentin kulmakertoimeksi.

Lauseketta

,

jonka raja-arvona funktion derivaatta saadaan, kutsutaan funktion erotusosamääräksi kohdassa . Tämä erotusosamäärä ilmoittaa funktion kuvaajan pisteiden ja kautta kulkevan sekantin kulmakertoimen.

Jos edellä mainitulla erotusosamäärällä ei ole raja-arvoa, kun , ei funktio ole derivoituva kohdassa . Näin käy tilanteissa, joita on havainnollistettu kuvin luentomonisteen sivulla 142. Lue tämä sivu aina esimerkkiin 5.12 saakka. Tämän jälkeen voit testata oheisilla testaa tietosi -tehtävillä, oletko ymmärtänyt derivaatan käsitteen.

Testaa tietosi II

Ohessa on erään funktion kuvaaja. Vastaa kuvan perusteella seuraaviin kysymyksiin.

(a) Onko ?

(b) Arvioi kuvaajalta itse piirtämäsi tangentin avulla, mitä on .

(d) Kuinka monessa kohdassa ? Arvioi kuvaajalta nämä kohdat.

(e) Missä kohdissa funktio ei ole derivoituva?

Tarkista vastaus sivulta 182.

Testaa tietosi III

http://www.cc.jyu.fi/~anvihola/testit/testaa/derivtesti1.php

4.3.3. Derivoimissääntöjä

Käytännössä funktioiden derivaatat lasketaan em. derivaatan määritelmästä johdetuilla derivoimissäännöillä. Tällä kurssilla emme johda noita sääntöjä, tyydymme ainoastaan harjoittelemaan niiden käyttöä. Tästä syystä en esittele nyt lainkaan derivaatan laskemista raja-arvon avulla. Olennaisinta on, että osaatte arvioida derivaatan kuvasta itse piirtämänne tangentin avulla ja tiedätte sen ilmoittavan samalla funktion arvojen kasvunopeuden kyseisessä kohdassa.

Funktion derivaattafunktio on funktio , jonka arvo jokaisessa kohdassa on funktion derivaatta tässä kohdassa. Funktion derivaattafunktion muodostamista nimitetään funktion derivoimiseksi. Tällä kurssilla käytämme yleensä funktion derivaattafunktiolle merkintää , mutta sitä voidaan myös merkitä seuraavasti:

.

Koska funktioiden derivoinnissa käytetyt derivoimissäännöt on esitelty luentomonisteessa esimerkkien kera, en toista niitä tässä, vaan kehotan lukemaan luentomonisteen luvusta 5.4.2 aluksi kaikki kohdat yhdistetyn funktion derivaattaan saakka. Tämän jälkeen voit harjoitella funktion derivointia näiden sääntöjen avulla oheisilla oppimistehtävillä.

Oppimistehtävä 3.3.

Määrää annettujen funktioiden derivaattafunktiot sekä laske derivaatan arvo annetussa pisteessä.

(a) ;

(b) ;

(d) ;

(e) , ;

(f) , ;

(g) , ;

Tarkista ratkaisusi sivulta 173.

Oppimistehtävä 3.4.

Määrää funktion derivaatta

(a) tulon derivoimissäännöllä (b) laskemalla ensin ko.kertolasku

Tarkista ratkaisusi sivulta 174.

Oppimistehtävä 3.5.

Missä kohdissa funktion

derivaatta on nolla?

Tarkista ratkaisusi sivulta 175.

Edellisessä modulissa käsittelimme vielä eksponentti- ja logaritmifunktioita, jotka ovat myös määrittelyjoukossaan derivoituvia. Näille funktioille on omat derivoimissääntönsä:

Monet reaalimaailman ilmiöitä kuvaavat funktiot voidaan tulkita yhdistetyiksi funktioiksi. Meidän on lopuksi opeteltava derivoimaan myös tällaisia, kahdesta eri funktiosta yhdistettyjä funktioita. Niiden derivointiin edellä esitellyt säänöt eivät päde. Osaamme jo esiteltyjen derivoimissääntöjen avulla derivoida mm. funktiot

,

mutta emme funktioita

,

jotka voidaan ajatella yhdistetyiksi funktioiksi siten, että kaikissa on sisäfunktiona ja ulkofunktiona jokin edellä mainituista perusfunktioista.

Yhdistetyn funktion derivoimiseksi on tiedettävä, mikä on kyseisen yhdistetyn funktion sisäfunktio ja mikä on sen ulkofunktio. Ilman tätä taitoa yhdistetyn funktion derivointi ei onnistu. Olkoon meillä derivoitavana yhdistetty funktio , missä on sisäfunktio ja ulkofunktio. Yhdistetyn funktion derivaatta on tällöin

.

Yhdistetyn funktion derivaatta on siten kahden eri tekijän tulo. Toinen noista tekijöistä on sen sisäfunktion derivaatta . Toinen tekijä on itsessään yhdistetty funktio, jonka sisäfunktio on sama kuin alkuperäisen funktion sisäfunktio ja ulkofunktio on alkuperäisen ulkofunktion derivaatta . Tämä toinen tekijä muodostetaan sijoittamalla alkuperäisen ulkofunktion derivaatan lausekkeeseen muuttujan paikalle sisäfunktion lauseke. Harjoitellaan yhdistetyn funktion derivoimista vaihe vaiheelta seuraavan esimerkin avulla.

Esimerkki 3.6.

Derivoi funktiot

(a) , (b) (c)

Ratkaisu:

(a) Funktio voidaan ajatella yhdistetyksi funktioksi, jonka sisäfunktio on ja ulkofunktio . (Yhdistetyssä funktiossa ulkofunktiota sovelletaan aina koko sisäfunktion lausekkeeseen, tässä sisäfunktiosta otetaan neliöjuuri.) Tämän yhdistetyn funktion derivaatta on tulo, jonka toinen tekijä on sisäfunktion derivaatta. Tässä tapauksessa sisäfunktion derivaatta on vakio 2. Toinen tämän yhdistetyn funktion derivaatan tekijä saadaan sijoittamalla ulkofunktion derivaattaan muuttujan paikalle sisäfunktion lauseke. Neliöjuurifunktion derivaatta on

.

Kun tähän sijoitetaan muuttujan paikalle sisäfunktion lauseke, saadaan

.

Funktion derivaatta on siten

.

(b) Merkitään , missä sisäfunktio ja ulkofunktio . Tällöin sisäfunktion derivaatta , ulkofunktion derivaatta ja yhdistetyn funktion derivaatan toinen tekijä . Funktion derivaatta on tällöin

.

(c) Tämä funktio voidaan puolestaan ajatella yhdistetyksi funktioksi siten, että ulkofunktio ja sisäfunktio . Funktion derivaatta on nyt yhdistetyn funktion derivoimissääntöä soveltaen

.

Vastaus:

(a) ,

(b)

(c)

Nyt on sinun vuorosi harjoitella yhdistetyn funktion derivoimista oheisen oppimistehtävän avulla.

Oppimistehtävä 3.7.

Määrää seuraavien funktioiden derivaatat

(a) (b) ,