, .

Tämä funktio ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa . Funktio on kuitenkin määritelty kaikkialla tämän kohdan läheisyydessä. Tutki, mitä funktion arvoille tapahtuu, kun muuttujan arvot lähestyvät kohtaa ?

Ratkaisu:

Lasketaan oheiseen taulukkoon funktion arvoja kohdan molemmin puolin.

	-1,1	-1,01	-1,001	-1	-0,999	-0,99	-0,9
	-1,921	-1,9902	-1,999		-2,001	-2,0102	-2,119

Taulukon perusteella näyttää siltä, että funktion arvot lähestyvät lukua -2, kun muuttujan arvot lähestyvät nimittäjän nollakohtaa . Sama ilmenee myös oheisesta funktion kuvaajasta.

Vastaus:

Kun lähestytään kohtaa sekä oikealta että vasemmalta, lähestyvät funktion arvot lukua -2.

Koska johdantoesimerkissämme funktion arvot lähestyivät lukua -2, kun muuttujan arvot lähestyivät kohtaa sekä oikealta että vasemmalta, sanotaan, että funktion raja-arvo kohdassa on -2. Tätä voidaan merkitä kahdella eri tavalla:

Jälkimmäinen merkintä luetaan: "limes , kun lähestyy lukua -1, on -2". Merkinnän lyhenne lim tulee latinan kielen sanasta limes, joka tarkoittaa rajaa.

Funktiolla sanotaan olevan kohdassa raja-arvo , jos funktion arvot tulevat miten tahansa lähelle lukua , kun muuttujan arvot ovat riittävän lähellä lukua . Sitä, että funktion raja-arvo kohdassa on , voidaan merkitä kahdella eri tavalla: joko

tai

.

Lue sitten matematiikan peopedeuttisen kurssin luentomonisteen luvusta 5.1, mitä siellä on kerrottu funktion raja-arvosta. Erityisesti sinun on syytä huomata, että funktion raja-arvo kertoo funktion käyttäytymisestä tarkastelukohdan läheisyydessä, mutta se ei kerro mitään funktion arvosta kyseisessä kohdassa. Katso huolella luentomonisteen kuvat sivulta 129. Kaikissa kuvien esittämissä tilanteissa funktiolla on sama raja-arvo kohdassa , mutta kyseisessä kohdassa funktio käyttäytyy eri tavalla kaikissa eri tilanteissa. Lue monisteesta myös huomautus, jossa puhutaan funktion vasemman- ja oikeanpuoleisista raja-arvoista. Raja-arvon laskemiseen liittyvät esimerkit voit sivuuttaa, sillä tällä kurssilla tyydymme tarkastelemaan raja-arvon käsitettä ainoastaan funktioiden kuvaajien avulla. Raja-arvon laskemiseen liityville tekniikoille meillä ei ole jatkossa käyttöä, joten niiden opiskelun jätän vapaaehtoiseksi.

Luettuasi raja-arvon käsitettä esittelevät kohdat luentomonisteesta voit vielä tarkistaa oheisella testaa tietosi -tehtävällä, olitko ymmärtänyt asian.

Huom! Palataan vielä hetkeksi johdantoesimerkkiimme 3.1. Siinä esiintyi rationaalifunktio

.

Laskemalla olisimme siis voineet päätellä funktion raja-arvon nimittäjän nollakohdassa seuraavasti:

.

Sama asia voitaisiin merkitä myös näin:

.