[edellinen] [sisällys] [seuraava]

1.2. Aritmeettinen jono ja summa

1.2.1. Aritmeettinen jono

Lukujono on aritmeettinen, jos sen minkä tahansa kahden peräkkäisen jäsenen erotus on vakio eli

kaikilla

Esimerkiksi parittomat luvut muodostavat aritmeettisen lukujonon, jonka kahden peräkkäisen jäsenen erotus on 2.

Testaa tietosi I

Muodostetaan aritmeettinen lukujono, kun sen ensimmäinen jäsen on ja kahden peräkkäisen jäsenen erotus . Näiden tietojen perusteella voidaan muodostaa koko lukujono.

 

Näin jatkaen huomataan, että tämän aritmeettisen jonon . jäsen on

.
 
Esimerkki 1.3.

Määrää aritmeettisen lukujonon

 

kahdestoista jäsen.

    Ratkaisu:

Koska tämän aritmeettisen jonon ensimmäinen jäsen ja kahden peräkkäisen termin erotus , on sen kahdestoista jäsen

.
Vastaus:

 

 
Esimerkki 1.4.

Pariskunta ottaa 42000 euron asuntolainan 12 vuodeksi. Lainan korkokanta on 5,25 %/vuosi. Laina maksetaan takaisin puolivuosittain tapahtuvin tasalyhennyksin. Samalla maksetaan korko jäljellä olevasta lainasta. Kuinka suuri on kahdeskymmenes maksuerä?

    Ratkaisu:

Jokaisen erän yhteydessä maksetaan lainan lyhennystä

 

Selvitetään vielä maksettava korko. Ensimmäisessä erässä korkoa maksetaan 42000 eurosta, toisessa erässä 40250 eurosta, kolmannessa 38500 eurosta jne. Pääomat, joille korko lasketaan, muodostavat vähenevän aritmeettisen lukujonon. Samoin tekevät korot, jotka ovat

1. erä

2. erä

3. erä

Kahden peräkkäisen erän koron erotus on aina 45,9375 euroa, mikä on 5,25 %:n vuotuisen korkokannan mukainen korko 1750 euron lyhennyksestä puolelta vuodelta laskettuna.

Koska maksuerien korot muodostavat aritmeettisien jonon, jonka 1. jäsen on 1102,50 euroa ja kahden peräkkäisen jäsenen erotus -45,9375 euroa, on kahdennenkymmenennen maksuerän korko

 

Lyhennyksineen kahdeskymmenes maksuerä on 1979,69 euroa.

Vastaus:

1979,69 euroa

 
Oppimistehtävä 1.5.

Henkilö ottaa kahdeksi vuodeksi 2100 euron kulutusluoton. Laina maksetaan takaisin kuukausittain tapahtuvin yhtäsuurin lyhennyksin. Samalla maksetaan korko jäljellä olevalle lainalle. Lainan korkokanta on 8,9 %/vuosi. Kuinka suuri on 12. eli 1. vuoden viimeinen maksuerä?

Tarkista ratkaisusi tästä.

 
    Huom!

Edellä olleet tehtävät voit toki ratkaista muullakin tavalla. Käytä sitä tapaa, joka sopii ajatteluusi parhaiten, ja tarkista tuloksesi oikeellisuus mallivastauksesta.

1.2.2. Aritmeettinen summa

Aritmeettisella summalla tarkoitetaan aritmeettisen jonon ensimmäisen jäsenen summaa, jota merkitään tunnuksella . Edellä käytettyjä merkintöjä käyttäen aritmeettinen summa on

 

Johdetaan yksinkertainen kaava aritmeettisen summan laskemiseksi. Kirjoitetaan summa ensin alusta loppuun ja sitten päinvastaisessa järjestyksessä. Merkitään jonon viimeistä jäsentä tunnuksella . Toiseksi viimeinen jäsen on silloin , kolmanneksi viimeinen jne.

 

Kun nämä yhtälöt lasketaan puolittain yhteen, saadaan

 

Ratkaistaan tästä yhtälöstä aritmeettinen summa :

 

Jos aritmeettisen summan termien lukumärä on , ensimmäinen yhteenlaskettava ja viimeinen yhteenlaskettava , niin aritmeettinen summa on

 

Koska on aritmeettisen summan ensimmäisen ja viimeisen yhteenlaskettavan keskiarvo, voidaan aritmeettisen summan kaava tulkita niin, että siinä kerrotaan ensimmäisen ja viimeisen yhteenlaskettavan keskiarvo termien lukumärällä.

 
Esimerkki 1.6.

Laske aritmeettisen jonon

 

kahdeksankymmenen ensimmäisen jäsenen summa .

    Ratkaisu:

Kyseisen aritmeettisen jonon ensimmäinen jäsen ja kahden peräkkäisen jäsenen erotus . Tällöin jonon kahdeksaskymmenes jäsen on

.

Aritmeettisen jonon kahdeksankymmenen ensimmäisen jäsenen summa on

.
Vastaus:

10040

 
Esimerkki 1.7.

Pariskunta on ottanut 54000 euron asuntolainan 12 vuodeksi. Lainan korkokanta on 5,45 %/vuosi. Laina maksetaan takaisin neljännesvuosittain tapahtuvin tasalyhennyksin. Samalla maksetaan korko jäljellä olevasta lainasta. Kuinka paljon lainasta joudutaan kaikkiaan maksamaan korkoa?

    Ratkaisu:

Aiemmin esitetyn esimerkin perusteella tiedetään, että tasalyhennyslainan maksuerien korot muodostavat vähenevän aritmeettisen jonon. Ensimmäinen korko maksetaan koko lainasta ja se on

 

Viimeinen korko maksetaan lyhennyksestä, joka on tässä tapauksessa

 

Viimeinen korko on siten

 

Maksueriä on yhteensä 48. Kokonaiskorko on aritmeettisen summan kaavan avulla laskettuna

 
Vastaus:

18025,88 euroa

 
    Huom!

Kokonaiskoron voi tietysti laskea laatimalla taulukon, josta näkyy erikseen jokaisen maksuerän korko ja laskemalla siitä kaikki korot yhteen. Näin on tehty oheisessa Excel-taulukossa. Jos kuitenkin olet kiinnostunut vain kokonaiskorosta, tällaista taulukkoa ei ole tarpeen laatia.

 

 
Oppimistehtävä 1.8.

Laske, kuinka paljon oppimistehtävän 1.5 lainasta on kaikkiaan maksettava korkoa.

Tarkista ratkaisusi tästä.

 

Testaa tietosi II

[edellinen] [sisällys] [seuraava]