Lainaohjelman mukaan ensimmäinen tasaerä euroa maksetaan vuoden kuluttua lainanottohetkestä. Toinen tasaerä maksetaan kahden vuoden kuluttua jne. Kun laina-aika on vuotta, viimeinen eli . tasa-erä maksetaan tämän ajan kuluttua. Lasketaan ensin näiden jaksollisten suoritusten yhteinen loppuarvo korkokannan %/vuosi mukaan viimeisen tasaerän maksuhetkellä eli vuoden kuluttua lainanottohetkestä.

Määrätään ensin kunkin annuiteetin arvo (kasvanut pääoma) . annuiteetin maksuhetkellä vuoden kuluttua lainanottohetkestä.

. suoritus :

. suoritus: (kasvanut korkoa vuoden)

. suoritus: (kasvanut korkoa 2 vuotta)

2. suoritus: (kasvanut korkoa vuotta)

1. suoritus: (kasvanut korkoa vuotta)

Tasaeristä muodostuneet kasvaneet pääomat muodostavat päättyvän -jäsenisen geometrisen jonon, jonka ensimmäinen jäsen on ja kahden peräkkäisen jäsenen suhdeluku . Tästä syystä näiden jaksollisten suoritusten yhteinen loppuarvo on geometrinen summa, jossa

(1. yhteenlaskettava),

(suhdeluku) ja

(termien lukumäärä).

Tasaerien yhteinen loppuarvo on geometrisen summan kaavan avulla

Diskontataan tämä summa lainanottohetkeen. Alkuperäinen pääoma, joka korkokannan %/vuosi mukaan kasvaa vuoden aikana tasaerien yhteisen loppuarvon suuruiseksi on

Tasaerä määrätyy siten, että tämä tasaerien yhteinen alkuarvo on lainan suuruinen. Muodostetaan yhtälö, jossa saatu tasaerien yhteinen alkuarvo merkitään yhtäsuureksi kuin laina euroa:

Ratkaistaan tästä yhtälöstä tasaerä . Kerrotaan yhtälö ensin puolittain vasemman puolen nimittäjällä, jolloin saadaan

Tästä tasaerä ratkeaa jakamalla yhtälö puolittain tämän tuntemattoman kertoimella, jolloin saadaan

Jos annuiteettlilaina on euroa, sen korkokanta %/vuosi ja laina-aika vuotta, niin lainasta vuosittain maksettava tasaerä eli annuiteetti on

Esimerkki 2.13.

Perhe ottaa 75000 euron asuntolainan 15 vuodeksi. Lainan korkokanta on 5,4 %/vuosi. Laina korkoineen maksetaan takaisin vuosittain maksettavin tasaerin. Laske tämä vuosittainen tasaerä eli annuiteetti. Kuinka paljon lainasta joudutaan kaikkiaan maksamaan korkoa?

 

Annuiteettilainan tasaerän laskemiseksi on taulukkolaskentaohjelmissa yleensä oma funktio. Excel-taulukkolaskentaohjelmalla lainan tasaerän voi laskea funktiolla, joka englanninkielisessä versiossa on PMT( %; ; ;0;0) ja suomenkielisessä versiossa MAKSU( %; ; ;0;0). Funktion ensimmäinen argumentti on korkojakson korkokanta, joka ilmoittaa, mikä osuus pääomasta maksetaan korkoa yhden korkojakson aikana. Toinen argumentti ilmoittaa maksuerien lukumäärän, joka annuiteettilainassa on sama kuin laina-aika vuosina. Kolmas argumentti on jaksollisten maksujen alkuarvo eli lainamäärä. Neljäs argumentti on maksun ns. tuleva arvo, joksi asetetaan lainan tasaerää laskiessa aina 0. Viides argumentti on luku 0 tai 1 riippuen siitä tapahtuvatko maksut jakson lopussa (arvo 0) vai jakson alussa (arvo 1). Näin laskien funktiolla saadaan tulokseksi negatiivinen maksu, joka on itseisarvoltaan oikein. Halutessasi tasaerän taulukkoon positiivisena lisää PMT/MAKSU-funktion eteen - (miinus-merkki).

Edellisen esimerkin annuiteetti voidaan laskea Excelin PMT-funktiolla antamalla seuraavat argumentit:

Kuviosta ilmenee, kuinka varsinaisen PMT-funktion tulos on negatiivinen. Taulukon solussa olevan kaavan tulos on kuitenkin lainan annuiteetti positiivisena, koska olen asettanut itse kaavan antamaan tämän PMT-funktion tuloksen vastaluvun. Annuiteetin laskevassa solussa on siis kaava:

Esimerkki 2.14.

Edellisen esimerkin annuitettilainan tasaerä pyöristetään yhden euron tarkkuuteen. Laadi lainanlyhennystaulukko, josta ilmenee kunkin erän sisältämä korko ja lyhennys. Kuinka suuri on viimeinen maksuerä, jolloin maksetaan takaisin jäljellä oleva laina ja sen korko? Laske myös maksettu kokonaiskorko.

Ratkaisu:

Euron tarkkuuteen pyöristetty tasaerä on 7422 euroa. Alla on esitetty Excel-taulukkolaskentaohjelmalla laadittu lainanlyhennystaulukko.

Luotto-sarakkeeseen on laskettu, kuinka paljon lainaa on jäljellä. Jäännöslaina saadaan vähentämällä edellisestä jäännöslainasta tasaerän sisältämä lyhennys. Annuiteetti-sarakkeessa on maksettu tasaerä. Korko-sarakkeessa on tasaerän sisältämä korko, joka saadaan laskemalla 5,4 % jäljellä olevasta lainasta, koska maksujakso on yksi vuosi eli kokonainen korkojakso. Lyhennys-sarakkeeseen on laskettu tasaerän sisältämä lyhennys vähentämällä korko maksetusta tasaerästä. Viimeinen maksuerä on saatu laskemalla yhteen jäljellä oleva laina ja sen korko yhdeltä vuodelta.

Vastaus:

Viimeinen maksuerä on 7429,67 euroa. Korkoa maksetaan yhteensä 36337,67 euroa.

Oppimistehtävä 2.15.

Herra Lahtinen ottaa sijoittamista varten lainaa 25200 euroa 8 vuodeksi. Lainan korkokanta on 4,85 %/vuosi.

(a) Laadi lainanlyhennystaulukko ja laske kokonaiskorko, kun laina maksetaan takaisin vuosittain tapahtuvin yhtäsuurin lyhennyksin ja erien yhteydessä maksetaan myös korko jäljellä olevalle lainalle.

(b) Laske vuosittainen tasaerä (annuiteetti), jos laina maksetaankin takaisin yhtäsuurissa vuosittaisissa erissä. Laadi lainanlyhennystaulukko, josta ilmenee tasaerän sisältämä korko ja lyhennys, kun tasaerä pyöristetään euron tarkkudelle. Kuinka suuri on tällöin viimeinen maksuerä? Kuinka paljon kaikkiaan joudutaan maksamaan korkoa?

Tarkista ratkaisusi tästä.

saadaan tasaerälainan tasaerä seuraavalla kaavalla:

Excel-taulukkolaskentaohjelmalla tasaerän voi laskea helposti myös silloin, kun korkojakson aikana on useita tasaeriä. Tasaerä lasketaan tällöin samalla funktiolla kuin annuiteettilainan annuiteetti eli englanninkielisessä versiossa funktiolla PMT( ; ; ;0;0) ja suomenkielisessä versiossa funktiolla MAKSU( ; ; ;0;0). Funktion ensimmäinen argumentti on korkojakson korkokanta, joka ilmoittaa, mikä osuus pääomasta maksetaan korkoa yhden korkojakson aikana. Maksujakson korkokanta saadaan jakamalla vuotuinen korkokanta vuoden maksukertojen lukumäärällä . Funktion muut argumentit ovat samat kuin annuiteettia laskettaessa. Muista laittaa tasaerän laskentakaavaan tämän funktion vastaluku halutessasi taulukkoosi maksettavan tasaerän positiivisena.

Esimerkki 2.16.

Perhe ottaa omakotitalon hankkimista varten asuntolainaa 109800 euroa 15 vuodeksi. Lainan korkokanta on 4,9 %/vuosi. Laina maksetaan takaisin kuukausittain tapahtuvin tasaerin. Laske tasaerä ja kokonaiskorko. Kuinka paljon korkoa olisi jouduttu kaikkiaan maksamaan, jos olisi valittu tasaerälainan sijasta kuukausittain maksettava tasalyhennyslaina?

Oppimistehtävä 2.17.

Jouni otti kolmeksi vuodeksi 6300 euron autolainan. Lainan korkokanta on 8,55 %/vuosi. Laina maksetaan takaisin neljännesvuosittain tapahtuvin tasaerin. Laske tasaerä sekä laadi lainanlyhennystaulukko, josta ilmenee erien sisältämä korko ja lyhennys. Kuinka paljon Jouni joutuu tasaerälainastaan kaikkiaan maksamaan korkoa? Kuinka paljon pienempi kokonaiskorko olisi, jos Jouni olisikin päätynyt neljännesvuosittain maksettavaan tasalyhennyslainaan?

Tarkista ratkaisusi tästä.