Differentiaaliyhtälöiden jatkokurssi 1 sl 2022

Ajankohtaista 4.10.2022

Kurssimateriaalin oleellisesti lopullinen versio on julkaistu.

Kurssi soveltuu syventävien opintojen valinnaiseksi opintojaksoksi matematiikan aineenopettajan maisteriohjelmassa.

Sisällöstä

Olkoot $U\subset\mathbb R^n$ ja $I\subset\mathbb R$ avoimia joukkoja ja olkoon $f\colon U\times I\to\mathbb R^n$ (jatkuva) kuvaus. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöyhtälöryhmä on yhtälö\begin{equation}\label{epaauton} \dot x(t)=f(x,t)\,. \end{equation} Siihen liittyvä alkuarvotehtävä on $$ \begin{cases} \dot x(t)=f(x,t)\\ x(t_0)=x_0 \end{cases} $$ joillain $x_0\in U$ ja $t_0\in I$. Jos yhtälön oikean puolen kuvaus $f$ ei riipu ajasta $t$ vaan onkin kuvaus $f\colon U\to\mathbb R^n$, niin sanomme kuvausta $f$ vektorikentäksi ja differentiaaliyhtälöryhmä on tällöin autonominen.

Kurssilla tutustutaan differentiaaliyhtälöryhmien teoriaan erityisesti lineaaristen autonomisten systeemien kautta: Jos $A$ on reaalinen $n\times n$-matriisi, niin differentiaaliyhtälö $\dot x=Ax$ on lineaarinen autonominen differentiaaliyhtälö ja $A$ on sen kerroinmatriisi. Tätä teoriaa varten laajennamme lineaarialgebran tietoja esimerkiksi tutustumalla matriisien Jordanin kanonisen muodon käyttöön.

Tarkasteltavaa teoriaa havainnollistetaan mahdollisuuksien mukaan esimerkeillä eri aloilta kuten fysiikasta ja biologiasta. Lineaaristen yhtälöiden osassa ratkaisemme muun muassa erilaisia vaimennettuja ja harmonisia värähtelijöitä kuvaaviä yhtälöryhmiä. Esimerkiksi vaimenevan värähtelijän yhtälö on lineaarinen autonominen yhtälö, jonka kerroinmatriisi on $$A=\begin{pmatrix} \ \ 0&\ \ 1\\-\dfrac km&-\dfrac bm\end{pmatrix},$$ kun $m$ on massa, $k$ on jousivakio ja $b$ kuvaa kitkaa. Kuvat esittävät harmonista ja alivaimennettua värähtelijää kuvaavien tason lineaaristen autonomisten differentiaaliyhtälöiden vektorikenttiä ja ratoja.

Kurssilla myös todistetaan epälineaaristen yhtälöryhmien ratkaisujen olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause ja tarkastellaan epälineaaristen yhtälöiden ratkaisuja. Erityisesti tarkastelemme differentiaaliyhtälön ratkaisujen käyttäytymistä tasapainopisteen lähellä linearisoinnin ja Liapunovin menetelmän avulla.

Luennot

Alustava versio kurssien luennoilla käsitellystä materiaalista ilmestyy tähän. Luennot (Versio 4.10.)

Mathematica

Mathematican on käyttökelpoinen ohjelmisto differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen ja erityisesti ratkaisujen havainnollistamiseen. Mathematica on käytettävissä yliopiston koneissa ja opiskelijat voivat asentaa sen omalle koneelleen. Käyttö edellyttää verkkoyhteyttä ja yliopiston käyttäjätunnuksia. Ohjeet ohjelmiston lataamiseen löytyvät digipalveluiden sivulta.

Luennoilla ja harjoituksissa käytettyä Mathematica-koodia. (Versio 20.9.)

Harjoitukset

Esitietoja

Kurssin esitietoja voi kerrata esimerkiksi lukemalla vektoricalculuksen, vektorifunktioiden analyysin, lineaarialgebran ja differentiaaliyhtälöiden kurssien luentomuistiinpanoja.

Lukemista

Contact information

Jouni Parkkonen
Matematiikan ja tilastotieteen laitos
PL 35
40014 Jyväskylän yliopisto