Moduli 7. Integraalilaskentaa

7.3. Osittaisintegrointi ja integrointi sijoituksen avulla

Tähän mennessä opetetuilla integroimissäännöillä voidaan integroida vain pieni joukko funktioita. Ne eivät esimerkiksi sovellu yhdenkään yhdistetyn funktion integrointiin. Modulissa 4 opetettu yhdistetyn funktion derivoimissääntö voidaan kääntää integroimissäännöksi, mutta tällä kurssilla sivuutan tuon säännön. Opettelemme sen sijaan toisen integroimistavan, joka on em. sääntöä monikäyttöisempi eikä toisaalta teknisempänä menetelmänä vaadi niin paljon abstraktia ajattelua.

Opettelemme tässä luvussa myös toisen integroimistavan, joka soveltuu moniin ns. hankaliin integraaleihin eli sellaisten funktioiden integrointiin, joita ei aiemmin opetetuilla säännöillä voida integroida. Jälkimmäinen integrointitapa perustuu tulon derivoimiskaavaan. Se on kätevä monessa tilanteessa, mutta ei tietenkään sovi kaikkiin hankaliin integraaleihin. Näiden menetelmien opettelun jälkeenkin on helppo löyää funktioita, joita ei vielä osata integroida. Integrointi on paljon hankalampaa kuin derivointi, eikä aina ole helppoa tietää, mikä menetelmä tilanteeseen sopii. Tällä kurssilla annankin teille hankalammissa tapauksissa vihjeen, mitä menetelmää kannattaa tai voi käyttää. Kannattaa opetella nämä molemmat menetelmät hyvin, sillä joissakin tilanteissa vain toinen menetelmä toimii.

7.3.1. Integrointi sijoituksen avulla

Olen esitellyt integrointia sijoituksen avulla matematiikan peruskurssin monisteen luvussa 3.3.5. Tällä kertaa esitän asian kuitenkin toisin: esittelen tavan, jota voitte käyttää edellä sivuutettuun yhdistetyn funktion derivoimissääntöön perustuvaan integrointiin sekä useisiin muihin ns. hankaliin tapauksiin. Mikäli haluatte, voitte toki opiskella itsenäisesti asiat luentomonisteen tavoilla. Tässä esittämäni tapa on teknisempi menetelmä, jonka uskon olevan helpommin omaksuttavissa.

Integrointi sijoituksen avulla perustuu yhdistetyn funktion derivoimissääntöön. Sivuutan tässä kuitenkin menetelmän perustelut ja keskityn havainnollistamaan menetelmää esimerkkien avulla. Integroinnin tuloksenhan voi aina tarkastaa derivoimalla ja käytänkin tätä perusteluna esittämäni menetelmän oikeellisuudelle.

Integrointi sijoituksen avulla voidaan ajatella tekniikaksi, jossa hankalanoloinen integraali muutetaan yksinkertaisempaan muotoon vaihtamalla integroimismuuttuja. Tämä tapahtuu korvaamalla integroitavasta funktiosta jokin muuttujan lauseke muuttujalla . (Luentomonisteen tavassa olen käyttänyt muuttujaa . Valitsin tähän tarkoituksella eri muuttujan, koska esitän nyt tavan hieman eri tavalla kuin luentomonisteessa.) Tällöin alkuperäinen integraali muuttuu yksinkertaisemmaksi integraaliksi tämän muttujan suhteen. Seuraavassa on esitelty menetelmän käyttö vaihe vaiheelta.

Tavoitteena on yksinkertaistaa muuttujan

Tämän jälkeen integroitava funktio kirjoitetaan muuttujan

Tämän jälkeen ratkaistaan saatu integraali muuttujan

Esimerkki 3.5.

Integroi

(a) (b)

Tarkista saamasi tulos derivoimalla.

Ratkaisu:

(a) Koska integroitava funktio on yhdistetty funktio, jonka sisäfunktio on , sijoitetaan . Tällöin

, josta .

Sijoitetaan nämä integroitavaan funktioon, integroidaan muttujan suhteen ja palataan lopulta takaisin muttujaan sijoittamalla saatuun tulokseen .

Tarkistetaan vielä tulos derivoimalla.

(b) Nyt integroitavana on yhdistetty funktio, jonka sisäfunktio on . Kokeillaan siis sijoitusta . Tällöin

, josta .

Sijoitetaan tämä integroitavaan funktioon ja edetään kuten edellisessä kohdassa.

Tarkistetaan lopuksi saatu tulos derivoimalla.

Vastaus:

(a) (b)

Edellisen esimerkin integraalit olisi voinut määrittää myös yhdistetyn funktion derivaatasta johdetulla integroimiskaavalla. Tällä tavoin vältyimme miettimästä, mikä on integroitavan sisä- tai ulkofunktio, mikä on sen sisäfunktion derivaatta, mikä on ulkofunktion integraalifunktio jne. Tällaista miettimistä tarvitaan kyseisen kaavan käytössä. Tässä käyttämämme menetelmä edellyttää vain, että tiedämme, mikä muuttujan lauseke kannattaa korvata apumuuttujalla .

Kokeillaan sitten vähän hankalampia tapauksia.

Esimerkki 3.6.

Integroi

(a) (b)

Tarkista saamasi tulos derivoimalla.

Ratkaisu:

(a) Koska integroitavassa funktiossa esiintyy yhdistetty funktio, jonka sisäfunktio on , kokeillaan sijoitusta , jolloin

eli .

Kun , on integroitavassa esiintyvä . Kirjoitetaan integroitava funktio uuden apumuuttujan avulla, integroidaan muuttujan suhteen ja palataan lopuksi alkuperäiseen muuttujaan sijoittamalla saatuun tulokseen .

Tarkistetaan lopuksi saatu tulos derivoimalla.

(b) Kokeillaan nyt yksinkertaistaa laskettavana oleva integraali sijoituksella . (Mikäli tämä olisi harjoitustehtävä, antaisin sijoitusvihjeen.) Tällöin

, josta .

Integroitavassa funktiossa esiintyy . Se, mitä tämän paikalle on sijoitettava, saadaan kertomalla edellä saatu yhtälö puolittain luvulla :

Kirjoitetaan sitten integroitava funktio uuden muuttujan avulla, integroidaan ja palataan lopuksi takaisin alkuperäiseen muuttujaan.

Tarkistetaan vielä saatu tulos derivoimalla.

Vastaus:

(a) (b)

Nyt on sinun vuorosi yrittää. Harjoittele menetelmän käyttöä seuraavalla oppimistehtävällä.

Oppimistehtävä 3.7.

Määrää

ja tarkista saamasi tulos derivoimalla.

Tarkista ratkaisusi sivulta 225.

Integrointia sijoituksen avulla voidaan käyttää myös määrätyn integraalin laskemiseen. Tämä voidaan tehdä kahdella eri tavalla. Funktio voidaan ensin integroida edellä esitetyllä tavalla ja laskea sitten määrätty integraali tämän tuloksen avulla niin kuin aiemminkin. Seuraava esimerkki havainnollistakoon asiaa.

Esimerkki 3.8.

Laske määrätty integraali

.

Ratkaisu:

Tehdään sijoitus , jolloin

, josta ja .

Tehdään tämä sijoitus ja määrätään ensin eräs funktion integraalifunktio.

Lasketaan sitten määrätty integraali normaalisti edellä saadun integraalifunktion avulla.

Vastaus:

Toinen tapa määrätyn integraalin laskemiseksi sijoituksen avulla on vaihtaa muttujanvaihdon yhteydessä myös integroimisrajat, jolloin takaisinpaluuta alkuperäiseen muuttujaan ei tarvita. Kun alkuperäinen alaraja on , on muuttujanvaihdossa asetettava uudeksi alarajaksi , missä on sijoituksessa käytetty :n (tai muun alkuperäisen muuttujan) funktio. Vastaavasti vanhan ylärajan tilalle asetetaan muuttujanvaihdossa . Lasketaan vielä edellä esitetty esimerkki tällä uudella tavalla, jotta saatte kuvan menetelmän toiminnasta ja voitte samalla vertailla näitä määrätyn integraalin ratkaisutapoja.

Esimerkki 3.9.

Laske määrätty integraali

.

Ratkaisu:

Käytetään samaa sijoitusta kuin edellä, mutta lasketaan määrätty integraali suoraan vaihtamalla integroimisrajat muuttujanvaihdon yhteydessä. Sijoitettu funktio on , jolloin uusi alaraja on ja uusi yläraja .

Vastaus:

Tämän jälkeen voit itse kokeilla menetelmän toimivuutta oheisen oppimistehtävän avulla.

Oppimistehtävä 3.10.

Laske määrätty integraali

Tarkista ratkaisusi sivulta 226.

7.3.2. Osittaisintegrointi

Osittaisintegrointi on myös käyttökelpoinen monien hankalampien integraalien laskemiseen. Se perustuu tulon derivoimiskaavaan. Opiskele tämä integrointimenetelmä matematiikan peruskurssin luentomonisteen luvusta 3.3.4 sivulta 114 alkaen. Esimerkin 3.20 luettuasi voit itse harjoitella osittaisintegrointia oheisella oppimistehtävällä.

Oppimistehtävä 3.11.

Integroi

, .

Tarkista ratkaisusi sivulta 226.

Osittaisintegrointi sopii luonnollisesti myös määrätyn integraalin laskemiseen. Opiskele tämäkin matematiikan peruskurssin luentomonisteesta ja katso erityisesti esimerkki 3.22. Tämän jälkeen voit vielä harjoitella osittaisintegrointia luentomonisteen oppimistehtävän 3.23 (s. 116) avulla.