Moduli 7. Integraalilaskentaa

7.2. Määrätty integraali

Määrätty integraali on toinen integraalilaskennan peruskäsite. Määrätyn integraalin avulla voidaan mm. laskea, mikä on suureen tietyllä aikavälillä kertynyt määrä, kun sen kasvunopeus tunnetaan.

7.2.1. Määrätyn integraalin käsite

Lue ensin matematiikan propedeuttisen kurssin luentomonisteesta esimerkki 6.15 sivulta 173 alkaen. Tämä esimerkki johdattelee sinut määrätyn integraalin käsitteeseen. Lue sitten luvusta 6.3.1 määrätyn integraalin määritelmä sekä sen tulkinta käyrän ja koordinaattiakselin välisenä pinta-alana.

Kuinka funktion määrätty integraali sitten voidaan laskea? Määrätyn integraalin laskeminen sen määritelmään nojautuen on hankalaa ja työlästä ja vaatii yleensä tehokkaan laskulaitteen käyttämistä. Funktion määrätty integraali voidaan laskea sen integraalifunktion avulla. Se, kuinka tämä tapahtuu, on selvitetty analyysin peruslausetta käsittelevässä luvussa 6.3.2. Lue tästä luvusta kyseinen lause sekä sivulla 177 olevasta huomautuksesta alkaen, kuinka määrätyn integraalin arvo lasketaan analyysin peruslauseen nojalla, ja tutki tarkoin kaikki tätä laskutapaa valaisevat esimerkit 6.16 - 6.19. Monisteessa on myös esitetty perustelu analyysin peruslauseelle, mutta tämän osion voit hyvin sivuuttaa. Tällä kurssilla riittää, että opit laskemaan määrätyn integraalin arvon ja tunnet tärkeimmät määrätyn integraalin sovellukset, joita tarkastelemme hieman myöhemmin opittuamme ensin määrätyn integraalin määrittämiseen liittyvän laskutekniikan.

Tässä vielä yhteenveto määrätystä integraalista, jotta näkisitte, mikä on olennaisinta tietää tästä uudesta käsitteestä.

Määrätyn integraalin määritelmä

Olkoon funktio jatkuva suljetulla välillä . Jaetaan väli osaväliin vasemmanpuoleisen kuvan osoittamalla tavalla. Merkitään jakopisteitä tunnuksin , missä ja . Osavälien pituudet olkoot , missä kaikilla . Muodostetaan summa

Kun jakopisteiden lukumäärä ja jakovälin pituus kaikilla (ks. oikeanpuoleinen kuva), summa lähestyy raja-arvoa, joka on funktion määrätty integraali :sta :hen ja jota merkitään

Funktion määrätty integraali :sta :hen on raja-arvo

jos tämä raja-arvo on olemassa. Lukuja ja kutsutaan integroimisrajoiksi: on alaraja ja on yläraja.

Määrätyn integraalin tulkintoja

Geometrisesti tulkittuna funktion määrätty integraali :sta :hen on itseisarvoltaan funktion kuvaajan, -akselin sekä suorien ja rajoittaman alueen pinta-ala.

Funktion esittäessä jonkun suureen kasvunopeutta määrätty integraali

on tämän suureen välillä kertynyt määrä.

Määrätyn integraalin laskeminen

Jos funktio on jatkuva välillä , niin määrätty integraali

missä on jokin funktion integraalifunktio.

Määrätyn integraalin

arvon laskeminen analyysin peruslauseen nojalla on kaksivaiheinen:

määrätään jokin funktion

lasketaan erotus

Vaiheessa, jossa funktio on integroitu, mutta integraalifunktion arvoja ja ei ole vielä laskettu käytetään merkintää

joka tarkoittaa erotusta . Merkintä luetaan: "sijoitus :sta :hen funktiolle ". Siis

Huomaa, että määrätyn integraalin arvo on reaaliluku, kun taas integraalifunktio on jokin funktio.

Huom! Osoitteesta

http://www.cc.jyu.fi/~anvihola/testit/integraali/integraali.php

löydät havainnollistuksen määrätyn integraalin käsitteestä.

Harjoittele tämän jälkeen määrätyn integraalin laskemista oheisen oppimistehtävän avulla.

Oppimistehtävä 3.3.

Laske määrätyt integraalit

(a) (b) (c)

Tarkista ratkaisusi sivulta 224.

Määrätyn integraalin ominaisuuksia

Määrätyn integraalin ominaisuuksia on lueteltu matematiikan peruskurssin luentomonisteen sivulla 111. Käy nuo ominaisuudet läpi ja huomaa erityisesti, että myös määrätyn integraalin tapauksessa voidaan summalle laskea määrätty integraali laskemalla se erikseen kullekin summan termille. Lisäksi integroitavan funktion vakiokerroin voidaan siirtää määrätyn integraalin kertoimeksi aivan samoin kuin integraalifunktiota määrättäessä.

7.2.2. Määrätyn integraalin sovelluksia

Tässä esitellään vain joitakin tavallisimpia määrätyn integraalin sovelluksia. Koska molemmat kurssilla käytössä olevat luentomonisteet kertovat näistä, on tässä vain yhteenveto siitä, mitä kannattaa opiskella mistäkin monisteesta.

Pinta-alan laskeminen

Koska määrätty integraali voidaan tulkita käyrän ja koordinaattiakselin väliseksi pinta-alaksi, voidaan sitä käyttää tämäntyyppisten pinta-alojen määrittämiseen. Asiaa on esitelty tarkemmin matematiikan propedeuttisen kurssin luentomonisteen luvussa 6.3.5 sivulta 182 alkaen. Lue tästä, kuinka määrätyn integraalin avulla voidaan määrittää käyrän ja koordinaattiakselin rajoittama alue sekä kahden käyrän rajoittama alue. Käy myös läpi aiheisiin liittyvät esimerkit. Mikäli haluat harjoitella käyrien välisen pinta-alan laskemista, tee matematiikan peruskurssin luentomonisteesta oppimistehtävä 3.18 sivulta 114.

Funktion keskiarvo

Funktion keskiarvo tietyllä välillä määritellään myös määrätyn integraalin avulla. Tämä on esitelty matematiikan peruskurssin luentomonisteen sivulla 114. Voit halutessasi harjoitella funktion keskiarvon määrittämistä oheisen oppimistehtävän avulla.

Oppimistehtävä 3.4.

Määrää funktion keskiarvo välillä .

Tarkista ratkaisusi sivulta 225.

Kertymäfunktio

Kuten jo aiemmin määrätyn integraalin tulkintoja esitellessä tuli mainittua, määrätyn integraalin avulla voidaan laskea suureen tietyllä välillä kertynyt määrä, kun suureen kasvunopeus tunnetaan. Asiaa on esitelty tarkemmin matematiikan peruskurssin luentomonisteessa sivulla 112. Lue kyseinen kohta ja halutessasi voit lopuksi harjoitella suureen kertyneen määrän määrittämistä laskemalla kohdasta aiheeseen liittyvän oppimistehtävän 3.17.