1.7.1. Funktion määritelmä

Voit aloittaa lukemalla, mitä kurssimonisteessa sanotaan funktion määritelmästä sekä käydä läpi kohdan pari esimerkkiä.

Koska funktioilla kuvataan suureiden välisiä riippuvuussuhteita, ne voidaan ajatella säännöiksi, jotka ilmoittavat, kuinka tietty suure riippuu tietystä muuttujasta, esimerkiksi kuinka tuotantokustannukset riippuvat tuotetusta määrästä. Mikä tahansa sääntö ei kuitenkaan ole funktio. Jotta sääntö, joka liittää jonkin muuttujan arvoihin tietyn suureen arvoja, olisi funktio, on tämän säännön oltava yksikäsitteinen. Tämä yksikäsitteisyysvaatimus tarkoittaa, että jokaista muuttujan arvoa on vastattava täsmälleen yksi funktion arvo. Suureiden välistä riippuvuutta kuvaavat funktiot voidaan yleensä ilmaista matemaattisina lausekkeina, mutta funktio voi olla mikä tahansa muukin sääntö, kunhan tuo yksikäsitteisyysvaatimus toteutuu. Esimerkiksi sääntö määrittää yksikäsitteisesti, mikä on reaalilukua (muuttuja) vastaava funktion arvo. Tuo funktio voisi ilmoittaa, kuinka tuotantokustannukset riippuvat tuotantomäärästä , kun yksikkökustannukset ovat 2 euroa/kpl ja kiinteät tuotantokustannukset 50 euroa. Sääntö sen sijaan ei määrittele funktiota, koska tiettyä muuttujan arvoa ei vastaa täsmälleen yksi funktion arvo, vaan niitä on kaksi erilaista: ja .

Funktio voidaan siis ajatella yksikäsitteiseksi säännöksi joltakin joukolta jollekin joukolle ja tätä funktiota merkitään: . Jos tällä funktiolla kuvataan, kuinka tietyn suureen arvot riippuvat tietystä muuttujasta, muodostavat nuo muuttujan arvot joukon ja tuon suureen arvot joukon . Matemaattisissa esimerkeissä nuo joukot ovat usen lukujoukkoja, esimerkiksi reaalilukujen osajoukkoja, reaalimaailman ilmiöitä kuvaavissa esimerkeissä nuo joukot voivat koostua mistä tahansa suureiden arvoista. Funktion muuttujien joukkoa sanotaan funktion lähtö- tai määrittelyjoukoksi ja sille käytetään merkintää . Meidän esimerkeissämme määrittelyjoukko on yleensä laajin mahdollinen reaalilukujen osajoukko, jossa funktion lauseke on määritelty. Maalijoukko on se joukko, josta funktio saa arvoja. Matemaattisissa esimerkeissä tällä kurssilla tuo joukko on yleensä . Funktion arvojen joukkoa sanotaan funktion arvojoukoksi, jolle käytetään merkitää . Funktion arvojoukko voi olla koko joukko tai jokin sen osajoukko. Esimerkiksi funktion , arvot ovat aina suurempia tai yhtäsuuria kuin yksi, koska luvun neliö on aina positiivinen tai nolla. Tämän funktion arvojoukko on siten .

Testaa ensin oheisella testaa tietosi -tehtävällä, olitko ymmärtänyt, mikä on funktio.

Mitkä seuraavista säännöistä määrittelevät funktion joukolta joukolle ?

(A)

(B) , , .

(C) , , .

1.7.2. Funktion kuvaaja

Havainnollisen kuvan funktion kulusta ja sen kuvaamasta suureiden välisestä riippuvuudesta saa funktion kuvaajan avulla. Funktion kuvaaja muodostuu pisteistä , missä kuuluu funktion määrittelyjoukkoon . Funktion kuvaajan pisteen -koordinaatti ilmoittaa siis funktion arvon kyseisellä :n arvolla. Jos funktion kuvaajalla on esimerkiksi piste , tiedetään, että pisteessä 2 funktion arvo on 5 eli .

Seuraavan oppimistehtävän avulla voit harjoitella funktion kuvaajan tulkitsemista.

Oppimistehtävä 1.14.

Ohessa on erään funktion kuvaaja. Ratkaise seuraavat tehtävät tämän kuvaajan avulla.

(a) Määrää , ja

(b) Millä muuttujan arvoilla funktio saa arvon nolla?

(c) Mitkä luvut toteuttavat yhtälön ?

(d) Arvioi, mitkä luvut toteuttavat yhtälön .

Tarkista ratkaisusi sivulta 34.

 

Ainakin ennen graafisten laskimien yleistymistä oppilaat usein karttoivat funktion kuvaajan piirtämistä. Työlästä se toki voi olla, mutta jos pystyt laskimella laskemaan funktion arvoja eri pisteissä, ei sen kuvaajan piirtämisessä pitäisi olla mitään ongelmaa. Seuraava esimerkki näyttäköön, kuinka saat funktion kuvaajan piirrettyä esimerkkipisteiden avulla.

 

Esimerkki 1.15.

Piirrä funktion kuvaaja.

Ratkaisu:

Määrätään ensin taulukoimalla funktion kuvaajalta joitakin pisteitä, joiden avulla varsinainen kuvaaja piirretään. On siis laskettava ensin funktion arvoja muutamilla muuttujan arvoilla.

-1
0
1
2
3

Vastaus:

 

Suoran piirtäminen

Tutustumme myöhemmin moniin eri funktiotyyppeihin ja niiden kuvaajiin. Tämän johdantojakson aikana on hyvä oppia yksinkertaisimman ja yleisimmän polynomifunktion eli ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaajan piirtäminen. Ensimmäisen asteen polynomifunktio on muotoa

, missä vakiot .

Esimerkiksi ja ovat ensimmäisen asteen polynomifunktioita. Ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaaja on suora. Suoran piirtämiseksi siltä on tiedettävä vähintään kaksi pistettä. Voit aina laskea nuo pisteet samaan tapaan kuin edellisessä esimerkissä. Itse kuitenkin piirrän suoran yleensä seuraavasti:

Olkoon piirrettävänä suora .

• Vakiotermi
ilmoittaa pisteen, jossa suora leikkaa -akselin. Tiedetään, että -akselilla -koordinaatti on nolla, joten sijoittamalla suoran yhtälöön saadaan eli suora kulkee piteen kautta. Näin löydetään helposti yksi suoran piste.

• Suoran kulmakerroin
ilmoittaa suoran kaltevuuden. Jos esimerkiksi suoran kulmakerroin on 3, saadaan sen pisteitä kulkemalla aina yhdestä tunnetusta suoran pisteestä yksi askel oikealle ja 3 ylöspäin. Vastaavasti, jos suoran kulmakerroin on -0,5, saadaan sen pisteitä kulkemalla tunnetusta pisteestä aina yksi askel oikealle ja 0,5 askelta alaspäin (tai vastaavasti kaksi askelta oikealle ja 1 alaspäin). Suoran lisäpisteiden määrittäminen kulmakertoimen avulla tapahtuu siis aina niin, että tunnetusta suoran pisteestä (esim. ) kuljetaan yhtä oikealle suuntautunutta siirtymää kohti kulmakeroimen verran ylös- tai alaspäin kulmakertoimen etumerkistä riippuen.

 

Oheiseen kuvioon on piirretty kolme suoraa. Määrää niiden yhtälöt.