[edellinen] [sisällys] [seuraava]

1.3. Geometrinen jono ja summa

1.3.1. Geometrinen jono

Lukujono on geometrinen, jos sen minkä tahansa kahden peräkkäisen jäsenen suhde (osamäärä) on vakio eli

kaikilla

Esimerkiksi luvun 3 potenssit muodostavat geometrisen lukujonon, jonka kahden peräkkäisen jäsenen suhde on 3.

Testaa tietosi III

Muodostetaan geometrinen lukujono, kun sen ensimmäinen jäsen on ja kahden peräkkäisen jäsenen suhde ( ) on . Näiden tietojen perusteella voidaan muodostaa koko lukujono.

 

Näin jatkaen huomataan, että tämän geometrisen jonon . jäsen on

.
 
Esimerkki 1.9.

Geometrisen jonon ensimmäinen jäsen on 1,5 ja suhdeluku 1,2. Määrää jonon 28. jäsen. Anna vastaus kolmen desimaalin tarkkuudella.

    Ratkaisu:

Geometrisen jonon 28. jäsen on

.
Vastaus:

206,056

 
Esimerkki 1.10.

Henkilö talletti vuoden alussa 4200 euroa tilille, jonka korkokanta on 2 %/vuosi. Korko liitetään pääomaan aina vuoden kuluttua, jolloin myös peritään 29 %:n suuruinen lähdevero korosta. Kuinka paljon tilillä on rahaa korkoineen kuuden vuoden kuluttua olettaen, että lisätalletuksia ei tehdä, lähdevero ei muutu eikä tililtä nosteta tuona aikana korkoja eikä muitakaan varoja?

    Ratkaisu:

Pääoma kasvaa tilillä korkoa 2 % vuodessa, mutta tästä korosta menee 29 % lähdeveroa. Tällöin asiakkaalle jää 71 % bruttokorosta eli hänen saamansa nettokorkokanta on

 

Tilin pääoma tulee siis vuosittain 1,0142-kertaiseksi. Lasketaan tilin kasvanut pääoma ensimmäisinä vuosina.

 

Tilin saldot muodostavat geometrisen jonon, jonka ensimmäinen jäsen on ja suhdeluku 1,0142. Kuuden vuoden kuluttua tilin saldo on

 
Vastaus:

4570,79 euroa

 
Oppimistehtävä 1.11.

Yrityksen tuotantonopeus on tällä hetkellä 2500 kg/vrk. Tuotantonopeuden arvioidaan kasvavan 1,5 %/kk. Kuinka suuri yrityksen tuotantonopeus on arvion mukaan vuoden kuluttua? Anna tulos kokonaisten tarkkuudella.

Tarkista ratkaisusi tästä.

 

1.3.2. Geometrinen summa

Geometrisella summalla tarkoitetaan geometrisen jonon ensimmäisen jäsenen summaa (merkitään tunnuksella ). Edellä käytettyjä merkintöjä käyttäen geometrinen summa on

.

Johdetaan kaava geometrisen summan laskemiseksi. Kerrotaan edellä esitetty geometrisen summan yhtälö puolittain suhdeluvulla . Asetetaan nämä yhtälöt alekkain.

 

Kun vähennetään kertomalla saatu yhtälö ensimmäisestä, saadaan

.

Ratkaistaan geometrinen summa tästä yhtälöstä. Otetaan ensin yhtälön vasemmalla puolella yhteiseksi tekijäksi ja oikealla puolella . Tämän jälkeen yhtälö tulee muotoon

.

Geometrinen summa ratkeaa nyt yhtälöstä jamalla se puolittain tämän kertoimella :

 

Jos geometrisen summan yhteenlaskettavien lukumäärä on , ensimmäinen yhteenlaskettava on ja suhdeluku eli geometrisen jonon minkä tahansa kahden peräkkäisen jäsenen suhde on , niin geometrinen summa on

 
 
Esimerkki 1.12.

Määrää geometrisen jonon termien summa, kun . Anna vastaus kahden desimaalin tarkkuudella.

    Ratkaisu:

Tässä geometrisessa summassa on yhteenlaskettavia 7, ensimmäinen yhteenlaskettava on 3,5 ja suhdeluku on 3,5. Edellä johdettua geometrisen summan kaavaa käyttäen kysytty summa on

.
Vastaus:

9006,10

 
Esimerkki 1.13.

Matti talletti kuutena peräkkäisenä vuonna jokaisen vuoden alussa 700 euroa tilille, jonka veroton korkokanta oli 2,85 %/vuosi. Tilillä korko liitettiin pääomaan aina vuoden lopussa. Kuinka paljon Matin tilillä oli rahaa korkoineen kuudennen vuoden lopussa, kun tililtä ei tänä aikana nostettu varoja?

    Ratkaisu:

Ensimmäinen talletus oli kasvanut kuudennen vuoden loppuun mennessä korkoa kuusi vuotta eli siitä saatu kasvanut pääoma oli . Toinen talletus oli kasvanut korkoa viisi vuotta ja tullut korkoineen summaksi . Yhteensä talletukset olivat korkoineen kuudennen vuoden lopussa

 

Yhteenlaskettavat muodostavat nyt geometrisen jonon, jonka ensimmäinen jäsen on , suhdeluku on 1,0285 ja termien lukumäärä 6. Geometrisen summan kaavan avulla saadaan tilin kokonaissaldoksi kuudennen vuoden lopussa

 
Vastaus:

Rahaa oli tilillä korkoineen 4639,43 euroa.

 
Oppimistehtävä 1.14.

Saat heinäkuuksi kesätyöpaikan. Työnantajan kysyttyä palkkatoivomustasi selität: "Haluan ensimmäiseltä päivältä 0,5 senttiä, toiseltä päivältä yhden sentin, kolmannelta kaksi, neljänneltä neljä senttiä jne. eli haluan palkkaa joka päivä kaksinkertaisen summan edelliseen päivään verrattuna." Kuinka suuri olisi heinäkuun palkkasi, jos työnantajasi suostuisi ehdotukseesi? Heinäkuussa on 23 työpäivää.

Tarkista ratkaisusi tästä.

 

Testaa tietosi IV

[edellinen] [sisällys] [seuraava]