[edellinen] [sisällys] [seuraava]
7.1. Integraalifunktio
Differentiaalilaskentaa käsittelevässä modulisssa 4 harjoittelimme määrittämään funktion derivaattoja ja totesimme, että derivaattafunktio ilmoittaa samalla funktion arvojen hetkellisen kasvunopeuden kyseisessä kohdassa. Geometrisesti funktion arvojen hetkellinen kasvunopeus voidaan tietyssä kohdassa tulkita funktion kuvaajalle tähän kohtaan piirretyn tangentin kulmakertoimeksi. Tässä luvussa olemme käänteisen ongelman edessä: tunnemme funktion kasvunopeuden (ts. derivaatan) ja meidän tehtävänämme on määrittää funktion arvo kyseisessä kohdassa. Tällaisen ongelman eteen joutuu esimerkiksi taloustieteilijä, jonka on pystyttävä määrittämään tuotantomäärää kuvaava funktio, kun tuotantonopeus tiedetään eri ajanhetkinä.
Aloitammekin luvun opiskelun tarkastelemalla tätä integraalilaskennan perusongelmaa: kuinka suureen kasvunopeuden avulla voidaan määrittää sen määrän muuttumista kuvaava funktio. Käy ensin läpi matematiikan propedeuttisen kurssin luentomonisteesta luvun 6.1 molemmat johdantoesimerkit (s. 164), joissa kasvunopeusfunktion avulla määritetään suureen muuttumista kuvaava funktio kahdessa eri esimerkkitapauksessa.
Ne funktiot, jotka edellisissä esimerkeissä määritettiin, ovat itse asiassa kasvunopeusfunktioiden integraalifunktioita. Sanotaan, että funktio 
on funktion 
integraalifunktio, jos jokaisella muuttujan arvolla 
on voimassa:
.
Funktion 
integraalifunktio 
on siis sellainen funktio, jonka derivaatta on funktio 
. Ennen kuin jatkat asian opiskelua matematiikan propedeuttisen kurssin luentomonisteesa, voit kokeilla oheisen testaa tietosi -tehtävän avulla, että olet ymmärtänyt integraalifunktion idean ja osaat määrittää funktion integraalifunktion hyvin yksinkertaisissa tapauksissa.
Testaa tietosi I
Funktiolla on äärettämän monta eri integraalifunktiota. Tarkastellaan esimerkiksi funktiota 
. Sen eräs integraalifunktio on 
. Koska vakion derivaatta on nolla, ovat myös funktiot 
, 
ja 
funktion 
integraalifunktioita. Voidaan osoittaa, että funktion 
kaikki integraalifunktiot ovat muotoa 
, missä 
on jokin vakio. Tätä vakiota nimitetään integroimisvakioksi. Silloin, kun etsitään jonkin suureen määrän muuttumista esittävää funktiota sen kasvunopeusfunktion (eli derivaatan) avulla, meillä on käytössä jokin alkuehto, joka kertoo, mikä tuon suureen määrä on esimerkiksi tarkastelun alkuhetkellä. Tuon alkuehdon avulla voidaan funktion kaikista mahdollisista integraalifunktioista ratkaista kyseisessä tapauksessa määrän muuttumista kuvaava funktio määrittämällä se integroimisvakio, jolla alkuehto toteutuu.
Lue sitten matematiikan propedeuttisen kurssin luentomonisteesta luku 6.2.1 integraalifunktion määritelmästä (s. 166) ja jatka sitten opiskelemalla derivoimissäännöistä johdetut tavallisimmat integroimissäännöt ja käy huolella läpi kaikki esimerkit. Lue luvusta 6.2.2 eksponenttifunktion integrointi viimeisenä. Jätetään yhdistetyn funktion integrointi tässä yhteydessä väliin ja palataan siihen myöhemmin, kun olemme ensin harjoitelleet näitä integroimissääntöjä ja tutustuneet määrätyn integraalin käsitteeseen.
Oheisten oppimistehtävien avulla voit harjoitella integrointia näiden integroimissääntöjen avulla. Integrointi on huomattavasti hankalampaa kuin derivointi. Huomaa erityisesti, että tulolle tai osamäärälle ei ole olemassa mitään erityistä integroimissääntöä, laskutoimitukset kannattaa suorittaa ennen integrointia. Funktioita integroitaessa on tärkeintä osata tulkita integroitava funktio niin, että pääsee soveltamaan jotakin integroimissääntöä. Esimerkiksi juurifunktiot on aina ensin tulkittava potensseiksi. Huomaa myös, että voit tietenkin aina tarkastaa integrointisi oikeellisuuden derivoimalla. Tämä kannattaa tehdä aina, sillä saat silloin lisäharjoitusta derivoinnista ja opit paremmin näkemään yhteyden integroinnin ja derivoinnin välillä.
, 
, 
, jolle on voimassa 
.