Olemme tällä kurssin jo harjoitelleet yhtälöparin ratkaisemista modulissa 2. Tässä luvussa opetellaan ratkaisemaan yhtälöryhmiä, joissa on yhtälöitä ja tuntemattomia enemmän kuin kaksi. Samat menetelmät, joilla aiemmin ratkaisimme yhtälöpareja (ts. sijoitus- ja yhteenlaskukeino) ovat edelleenkin mahdollisia. Mitä enemmän yhtälöryhmässä on yhtälöitä ja tuntemattomia, sitä työläämpää niiden ratkaiseminen käsin on. Useimmiten yhtälöryhmät ratkaistaankin sopivilla laskentaohjelmilla. Käsin yhtälöryhmiä ratkaistaessa aiemmin esitellyt menetelmät ovat toimivia, mutta kokonaisuus voi joskus olla hankala pitää hallussa. Tässä luvussa opettelemmekin kaksi uutta tapaa lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisemiseen. Niidenkään avulla emme voi välttää käsin ratkaisemisen työläyttä, mutta kokonaisuus on näissä menetelmissä helpommin hallittavissa.
Lue luentomonisteen luvun 2.3 alusta, mitä lineaarisella yhtälöryhmällä tarkoitetaan. Opiskele sitten luvusta 2.3.1 Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Käy huolella läpi esimerkki 2.22 ja harjoittele menetelmän käyttöä laskemalla oppimistehtävä 2.23. Esimerkeissä 2.24 ja 2.25 on tilanteet, joissa yhtälöryhmällä ei ole yksikäsitteistä ratkaisua. Huomaa, että näinkin voi käydä. Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä sopii hyvin myös näihin tapauksiin. Sen sijaan toinen myöhemmin esiteltävä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisumenetelmä (Cramerin sääntö) soveltuu vain tapauksiin, joissa yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu. Esimerkissä 2.26 on selitetty, kuinka toimitaan, jos lineaarisessa yhtälöryhmässä on eri määrä yhtälöitä kuin tuntemattomia. Tällaiset tilanteet ovat harvinaisempia ja jätänkin aiheeseen tutustumisen itse kunkin kiinnostuksen varaan.
Gauss-Jordanin eliminointimenetelmässä hankalinta on keksiä rivioperaatiot, joiden avulla laajennetun kerroinmatriisin vasemmalle puolelle saadaan yksikkömatriisi. Mukavimmin tuohon tavoitteeseen yleensä pääsee seuraamalla luentomonisteen sivulla 55 olevaa ohjetta. Muista, että sinulla on vain nuo kolme eri rivioperaatiota käytettävissäsi, kun ratkaiset lineaarista yhtälöryhmää Gauss-Jordanin menetelmällä.
Tämän luvun tärkein tavoite on oppia ratkaisemaan lineaarinen yhtälöryhmä kahdella eri menetelmällä. Niistä vielä esittelemättä oleva Cramerin sääntö käy vain niissä tilanteissa, joissa yhtälöryhmälle löytyy yksikäsitteinen ratkaisu. Ennen kuin voimme opetella tuon kyseisen menetelmän, meidän on selvitettävä, milloin lineaarisella yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu. Tätä varten on ensin opiskeltava lineaarisen yhtälöryhmän matriisiesitys ja tutustuttava uuteen matriisilaskennan käsitteeseen: käänteismatriisiin.
Selvitä ensin luentomonisteen luvusta 2.3.2, mitä tarkoitetaan matriisin käänteismatriisilla, millaisella matriisilla on käänteismatriisi ja kuinka tuo käänteismatriisi määritetään (käänteismatriisin ominaisuudet voit sivuuttaa). Käy läpi luvun esimerkit ja laske sen oppimistehtävät.
Lue vielä, mitä luentomonisteessa kerrotaan yhtälöryhmän ratkaisemisesta käänteismatriisin avulla. Tätä tapaa emme käytä, koska siitä ei ole iloa, ellemme pysty kätevästi määrittämään kerroinmatriisin käänteismatriisia. Olennaisinta on, että luettuasi tämän kohdan tiedät, milloin lineaarisella yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu.