[edellinen] [sisällys] [seuraava]
3.5. Analyyttistä geometriaa
Olemme tällä kurssilla tutustuneet jo kahteen eri tasokäyrään: suoraan ja paraabeliin. Se matematiikan osa-alue, joka tutkii mm. erilaisia tasokäyriä on ns. analyyttinen geometria. Analyyttisen geometrian perustana on tason varustaminen koordinaatistolla. Tällöin tasokäyriä voidaan esittää kahden muuttujan yhtälöiden (esim. 
tai 
) avulla. Käyrien ominaisuuksia tutkiminen muuttuu tällöin yhtälöiden tarkasteluksi. Esimerkiksi geometrisen perussuhteen "piste on käyrällä" korvaa anlyyttisessä geometriassa laskennollinen ehto "pisteen koordinaatit toteuttavat käyrän yhtälön".
Tässä osiossa opetellaan muutama uusia asia suoriin liittyen sekä tutustutaan aivan uuteen tasokäyrään eli ympyrään.
3.5.1. Suora
Olemme jo harjoitelleet suoran piirtämistä sen yhtälön avulla. Suoran piirtäminen onnistuu kätevästi, kun sen yhtälö on muokattu ns. ratkaistuun muotoon 
, missä vakio 
ilmoittaa suoran kulmakertoimen ja vakio 
kohdan, jossa suora leikkaa 
-akselin. Suoran yhtälö voidaan esittää myös ns. yleisessä muodossa 
, missä ainakin toinen vakioista 
ja 
ovat nollasta poikkeavia. Esimerkiksi 
on suoran yhtälön yleinen muoto. Piirtämistä varten kyseinen yhtälö kannattaa muokata ratkaistuun muotoon ratkaisemalla 
tästä yhtälöstä. Tällöin edellä mainittu yhtälö tulee muotoon 
.
Suora on täysin määrätty, jos siltä tunnetaan yksi piste ja lisäksi tiedetään sen suunta eli tunnetaan suoran kulmakerroin. Seuraavaksi opetellaankin määrittämään suoran yhtälö tässä tapauksessa. Tätä varten on olemassa oma kaava, joka on johdettu luentomonisteen luvussa 3.1.1 sivulla 56. Kyseisen kaavan mukaan suoralla, joka kulkee pisteen 
kautta ja jonka kulmakerroin on 
, on yhtälö
.
Lue kaavan johtaminen luentomonisteesta ja katso siihen liittyvä esimerkki 3.1. Lopuksi voit vielä harjoitella suoran yhtälön määrittämistä tällaisessa tilanteessa oheisen oppimistehtävän avulla.
Oppimistehtävä 3.19.
Määrää yhtälö suoralle, joka kulkee pisteen 
kautta ja jonka kulmakerroin on 2. Ilmoita yhtälö ratkaistussa muodossa.
Lisäksi meidän on opeteltava määrittämään suoran kulmakerroin, kun suoralta tunnetaan kaksi pistettä. Suoran kulmakerroinhan ilmoittaa meille suoran suunnaan. Kun suora kulkee pisteiden 
ja 
kautta, sen kulmakerroin 
on
eli kulmakerroin saadaan jakamalla 
-koordinaattien erotus 
-koordinaattien erotuksella. Huomaa, että molemmat erotukset lasketaan aina samassa järjestyksessä (pisteen 2 koordinaateista vähennetään vastaavat pisteen 1 koordinaatit). Oheisella testaa tietosi -tehtävällä voit varmistaa, että osaat määrittää suoran kulmakertoimen sen kahden pisteen koordinaattien avulla.
Testaa tietosi VII
Suora kulkee pisteiden 
ja 
kautta. Mikä on suoran kulmakerroin?
Nyt, kun osaamme määrittää suoran yhtälön silloin, kun siltä tiedetään yksi piste sekä kulmakerroin ja osaamme myös määrittää suoran kulmakertoimen sen kahden pisteen avulla, voimme tietysti määrittää suoran yhtälön silloin, kun siltä tunnetaan kaksi pistettä. Sijoitamme tuolloin vain edellä käytettyyn suoran yhtälön kaavaan kulmakertoimen paikalle kahden pisteen avulla lasketun kulmakertoimen. Kun suora kulkee pisteiden 
ja 
kautta, sen yhtälö on
.
Lue nyt luentomonisteen luvusta 3.1.2 sivulta 57 alkaen, mitä siellä kerrotaan suoran kulmakertoimesta. Katso erityisesti esimerkit 3.2 ja 3.3. Lopuksi voit vielä harjoitella suoran yhtälön määrittämistä oheisen oppimistehtävän avulla.
ja 
kautta. Mikä on suoran yhtälö? Ilmoita se ratkaistussa muodossa. 3.5.2. Ympyrä
Luentomonisteessa on ympyrää esitelty luvussa 3.4. Lue sieltä ympyrän yhtälön johtaminen sekä esimerkki 3.7. Tämän luettuasi sinun pitäisi tietää, että ympyrällä, jonka keskipiste on 
ja säde 
on yhtälö
.
keskipiste on 
ja säde 3 ja ympyrän 
keskipiste on 
sekä säde 
. Tällä kurssilla on tärkeintä, että osaat piirtää ympyrän koordinaatistoon sen yhtälön avulla. Tätä voit harjoitella oheisen oppimistehtävän avulla. 
ja 
samaan koordinaatistoon.