[edellinen] [sisällys] [seuraava]
3.4. Yhdistetty funktio
Tarkastellaan funktiota 
. Kun lasket tämän funktion arvoa esimerkiksi kohdassa 
, suoritat sen kahdessa vaiheessa: lasket ensin muuttujan arvolla 2 juurrettavan arvon
ja tämän jälkeen otat tuloksesta neliöjuuren ja saat funktion arvoksi kohdassa 
luvun 
. Voimme tässä tapauksessa ajatella, että funktio 
on yhdistetty kahdesta eri funktiosta: juurrettavassa olevasta polynomista 
, jonka arvoon sovelletaan neliöjuurifunktiota 
.
Voimme ajatella funktion kahdesta eri funktiosta yhdistetyksi funktioksi silloin, kun sen arvoa laskettaessa meidän on ensin laskettava yhden funktion arvo (em. polynomi) ja tämän funktion arvoon on vielä sovellettava jotakin toista funktiota (neliöjuuri johdantoesimerkissä). Oheisessa taulukossa on esimerkkejä yhdistetyista funktioista ja siitä ilmenee myös, mikä on se funktio, jonka arvo on laskettava ensin ja mikä on se toinen funktio, jota tuohon arvoon lopuksi sovelletaan.
Olkoot 
ja 
joitakin funktioita. Niistä muodostettu yhdistetty funktio 
(luetaan "
arvolla 
") saadaan sijoittamalla funktion 
lauseke muuttujan paikalle funktion 
lausekkeeseen. Funktiota 
, jonka lauseke sijoitetaan muuttujan paikalle toiseen funktioon sanotaan sisäfunktioksi. Funktio 
, jonka lausekeeseen muuttujan paikalle tuo sisäfunktio sijoitetaan, on puolestaan ulkofunktio. Seuraavassa esimerkissä harjoitellan funktioiden yhdistämistä.
Esimerkki 3.18.
Olkoon sisäfunktio 
. Muodosta yhdistetty funktio 
, kun ulkofunktio 
on
(b) 
(d) 
(b) 
(c) 
(d) 
Seuraavassa modulissa tarvitsemme erityisesti taitoa tunnistaa yhdistetty funktio sekä sen sisä- ja ulkofunktio. Huomaa, että hajoitellessamme johdannossa funktion tunnistamista yhdistetyksi funktioksi löysimme jo sen sisä- ja ulkofunktion, vaikka emme noita nimityksiä vielä tienneetkään. Ajattelutapa, jota tuolloin käytettiin sopii mielestäni hyvin yhdistetyn funktion tunnistamiseen. Sen sisäfunktion löytää mukavasti miettimällä, minkä funktion arvo on laskettava ensin, ennen kuin funktion arvon tietyssä pisteessä saa selville. Ulkofunktio on puolestaan se funktio, jota tuohon arvoon sovelletaan. Kokeilepa nyt itse sisä- ja ulkofunktion löytämistä yhdistetystä funktiosta oheisen testaa tietosi -tehtävän avulla.
Vielä on syytä huomata, että funktio voidaan ajatella yhdistetyksi funktioksi monellakin tavalla. Edellä esitetyt tulkinnat ovat vain yksi vaihtoehto. Esimerkiksi funktio 
voidaan ajatella yhdisteyksi funktioksi 
siten, että sisäfunktio 
on 
ja ulkofunktio 
on 
. Toinen tapa tulkita samainen funktio yhdistetyksi funktioksi on ajatella sisäfunktioksi 
koko nimittäjä 
ja ulkofunktioksi 
. Tässä yhteydessä olevien harjoitusten malliratkaisuissa olen näyttänyt vain yhden tavan tulkita funktiot yhdistetyiksi funktioiksi.
